2020全国新高考培优高考仿真模拟（二）文科数学（解析版）.doc

2020高考仿真模拟(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2019等于(　　) A．i B．1 C．－i D．－1 答案　D 解析　由于i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，且in(n∈N*)的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.故选D. 2．集合A＝{y|y＝2cos2x＋1}，B＝{x|log2(x＋2)＜2}，则A∩B＝(　　) A．(－2,3] B．(0,2] C．[1,2) D．(2,3] 答案　C 解析　因为A＝{y|y＝2cos2x＋1}＝{y|y＝cos2x＋2}＝[1,3]，B＝{x|log2(x＋2)＜2}＝{x|0＜x＋2＜4}＝(－2，2)，所以A∩B＝[1,2)，故选C. 3．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A．m＞ B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1 答案　C 解析　若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，推不出m>，即推不出不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0. 4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄，白}，{黄，蓝}，{黄，红}，{白，蓝}，{白，红}，{蓝，红}，共6种，这6种基本事件发生的可能性是相等的．其中包含白色的有3种，所以选中白色的概率为，故选B. 5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为(　　) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 答案　B 解析　设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B. 6．函数f(x)＝cosx的图象的大致形状是(　　) 答案　B 解析　∵f(x)＝cosx，∴f(－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，C；又当x∈时，ex＞e0＝1，－1＜0，cosx＞0，∴f(x)＜0，排除D，故选B. 7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则Aω的可能取值为(　　) A. B．π C. D．2π 答案　B 解析　∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0， ∴cosω·＝cos3ω·＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝，则Aω＝π.故选B. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　) A．72 B．48 C．24 D．16 答案　C 9．已知等边△ABC的边长为2，点E，F分别在边AB，AC上，且＝λ，＝μ，若·＝，·＝－1，则λ＋μ＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵等边三角形ABC的边长为2，∴·＝·＝·＝2，又＝λ，＝μ，∴＝＋＝＋(1－λ)，＝＋＝(1－μ)－，∴·＝(1－λ)··(1－μ)＝(1－μ)(1－λ)·＝2(1－μ)(1－λ)＝，·＝[＋(1－λ)]·[(1－μ)－]＝－4＋2(1－μ)(1－λ)＋2(1－λ)＋2(1－μ)＝－1，∴2(1－λ)＋2(1－μ)＝3－＝，∴λ＋μ＝，故选C. 10．实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，目标函数z＝mx＋y的最大值等于5，则实数m的值为(　　) A．－1 B．－ C．2 D．5 答案　B 解析　实数x，y满足|x＋1|≤y≤－x＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(－1,0)，B(0,1)，由得 ∴C(－4,3)．目标函数z＝mx＋y，∴y＝－mx＋z，当m>时，直线过点B时，z取得最大值，此时z＝1，与z取得最大值5矛盾，舍去；当0<m<时，直线过点C时，z取得最大值5，∴－4m＋3＝5，∴m＝－不成立，舍去；当m＝0或时，易验证z的最大值不可能等于5；当m<0时，直线过点C时，z取得最大值5， ∴－4m＋3＝5，∴m＝－成立．故选B. 11．若x，y，z∈R＋，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　设3x＝4y＝12z＝t(t>1)，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，∴＝ ＝＋＝log312＋log412＝2＋log34＋log43.∵ 1<log34<2,0<log43<1，∴1<log34＋log43<3；又log34＋log43>2＝2，∴2<log34＋log43<3，∴4<2＋log34＋log43<5，即∈(4,5)．∴n＝4.故选C. 12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，若方程f(－x)＋f(x)＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，e) B．(e，＋∞) C．(0,2e) D．(2e，＋∞) 答案　D 解析　因为函数F(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数，F(0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f(－x)＋f(x)＝0有两个不同的正根，又当x>0时，f(－x)＝ex－mx＋，所以方程可以化为ex－mx＋＋xex－ex＝0，即xex＝m，记g(x)＝xex(x>0)，则g′(x)＝ex(x＋1)>0，设直线y＝m与g(x)图象相切时的切点为(t，tet)，则切线方程为y－tet＝et(t＋1)(x－t)，过点，所以－tet＝et(t＋1)⇒t＝1或－(舍去)，所以切线的斜率为2e，由图象可以得m>2e.故选D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f(x)＝的定义域为________． 答案　(0,1)∪(1，e] 解析　依题意得得即函数的定义域为(0,1)∪(1，e]． 14．已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m 的取值范围是________． 答案　(－1,1] 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，可知当－1<m≤1时，f(x)在[－1，m]上的最大值是1. 15．在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD＝30°，BC＝2，则△ABC的面积为________． 答案　2 解析　因为D是BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD，即AB·ACsin120°＝2×AB·AD，所以AD＝AC，于是在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，即()2＝AC2＋AC2－2AC·AC·，解得AC＝4，所以AD＝，于是S△ABC＝2S△ADC＝2×××4×＝2. 16．已知三棱锥P－ABC，△ABC为等边三角形，△PAC为直角三角形，∠PAC＝90°，∠PCA＝45°，平面PAC⊥平面ABC，若AB＝3，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________． 答案　21π 解析　由∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，可知PA⊥平面ABC，球心在经过△ABC的中心且垂直面ABC的垂线上，也在线段PA的中垂面上，故二者交点即球心，因为∠PCA＝45°，所以PA＝3，所以三棱锥P－ABC 外接球的半径R满足R2＝2＋()2＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝21π. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)＋＋＋…＋＝n2＋n，① ∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，② ①－②，得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)． 当n＝1时，＝1＋1，a1＝4也适合，∴an＝n·2n＋1. (2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n， ∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，③ －2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n×(－2)n＋1，④ ③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n×(－2)n＋1＝－n×(－2)n＋1， ∴Sn＝－. 18．(本小题满分12分)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b. (1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数) (2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率． 解　(1)依题意，(a＋0.008＋0.035＋0.027＋b)×10＝1，所以a＋b＝0.03. 又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006. 因为0.08＋0.24<0.5,0.08＋0.24＋0.35>0.5，所以中位数在第三组， 所以中位数为70＋≈75.14. (2)依题意，知分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的． 其中满足条件的为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种， 设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为A，则P(A)＝. 19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P－ABC放置在以AC为直径的半圆面O上，O为圆心，B为圆弧上的一点，D为线段PC上的一点，且AB＝BC＝PA＝3，PB＝3，PA⊥BC. (1)求证：平面BOD⊥平面PAC； (2)当＝2时，求三棱锥C－BOD的体积． 解　(1)证明：由AB＝PA＝3，PB＝3， ∴PA2＋AB2＝PB2， ∴PA⊥AB，又PA⊥BC且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥平面ABC. ∵BO⊂平面ABC， ∴PA⊥BO，由BA＝BC，O为圆心，AC为直径，所以BO⊥AC. 因AC∩PA＝A，故BO⊥平面PAC， 又BO⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面PAC. (2)由＝2，知D为PC的中点， 而O为圆心，AC为直径，所以PA∥DO，所以DO⊥平面ABC， 因为PA＝3，所以DO＝， 由题意知∠ABC＝90°，所以S△ABC＝×3×3＝， 由等体积法知V三棱锥C－BOD＝V三棱锥D－BOC＝×S△BOC·DO＝×××＝. 故三棱锥C－BOD的体积为. 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x－x2＋a(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≤0，求a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝－2x＝， 当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)＝0得x＝(负根舍去)． 令f′(x)>0得0<x< ；令f′(x)<0得x>， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)当a＝0时，f(x)＝－x2<0，符合题意． 当a>0时，f(x)max＝f ＝aln －＋＝aln ≤0， ∵a>0，∴ln ≤0，∴0< ≤1，∴0<a≤2. 当a<0时，f(x)＝aln x－x2＋a在(0，＋∞)上单调递减， 且y＝aln x与y＝x2－a的图象在(0，＋∞)上只有一个交点，设此交点为(x0，y0)， 则当x∈(0，x0)时，f(x)>0，故当a<0时，不满足f(x)≤0. 综上，a的取值范围为[0,2]． 21．(本小题满分12分)如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1. (1)求k·k1的值； (2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 解　(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)， ∴l：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，k＝，k1＝， 由＝＋1，得y＋y0＝x＋x0＋2，　① 由＝－1，得y－y0＝x0－x, ② 由①②得 kk1＝ ＝＝1. (2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0， 设M(xM，yM)，N(xN，yN)，∴xM＝， ∴yM＝. 同理可得xN＝＝，yN＝＝. kMN＝＝＝＝－， 直线MN：y－yM＝kMN(x－xM)， 即y－＝－， 即y＝－x－＋＝－x－. ∴当k变化时，直线MN过定点. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ(1＋cos2θ)＝8sinθ. (1)求曲线C的普通方程； (2)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与y轴交于点F，与曲线C的交点为A，B，当|FA|·|FB|取最小值时，求直线l的直角坐标方程． 解　(1)由题意得ρ(1＋cos2θ)＝8sinθ， 得2ρcos2θ＝8sinθ，得ρ2cos2θ＝4ρsinθ， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴x2＝4y，即曲线C的普通方程为x2＝4y. (2)由题意可知，直线l与y轴交于点F(0,1)，即为抛物线C的焦点， 令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|， 将直线l的参数方程 代入C的普通方程x2＝4y中， 整理得t2cos2α－4tsinα－4＝0， 由题意得cosα≠0，根据根与系数的关系得， t1＋t2＝，t1t2＝， ∴|FA||FB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝≥4(当且仅当cos2α＝1时，等号成立)， ∴当|FA|·|FB|取得最小值时，直线l的直角坐标方程为y＝1. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|. (1)当m＝5时，求不等式f(x)>2的解集； (2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围． 解　(1)当m＝5时，f(x)＝ 由f(x)>2得不等式的解集为. (2)由二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 知函数在x＝－1处取得最小值2， 因为f(x)＝在x＝－1处取得最大值m－2， 所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4. - 14 -