河北省衡水中学2016届高三（上）七调数学试卷（理科）（解析版）.doc

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科） 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y=1+}，那么A∩∁UB=（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2} 2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T2m﹣1=512，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（　　） A．[0，] B．[﹣，] C．[﹣，1] D．[﹣，] 5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　） A．2 B． C．﹣1 D．1 6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（　　） A．1 B． C． D．2 8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（　　） A．120 cm3 B．80 cm3 C．100 cm3 D．60 cm3 9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　） A． B． C．4π D．2π 11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1、F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0 ） （x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，] 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是　　． 14．以下四个命题中： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样， ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1， ③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19， ④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大． 以上命题中其中真命题的个数为　　． 15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　　． 16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为　　． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件∥， （1）求数列{an}的通项公式， （2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）=． ①求数列{bn}的通项公式， ②设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点． （1）求证：AM∥平面SCD； （2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值； （3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值． 19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率． （3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX． 附表及公式 P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=． 20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切． （1）求椭圆C的方程， （2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （1）求f（x）的单调区间， （2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值， （3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得ef（x0）＜1﹣x02成立？请说明理由． 　 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4一1：几何证明选讲] 22．（选修4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． 　 [选修4一4坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点． （1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程； （2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值． 　 [选修4一5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＜4； （Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 　 2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y=1+}，那么A∩∁UB=（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据真数大于零得﹣x2+2x＞0，求出x的范围即求出集合A，再由求出集合B，根据补集和交集得运算求解． 【解答】解：由﹣x2+2x＞0得，0＜x＜2， ∴A={x|y=log2（﹣x2+2x）}={x|0＜x＜2}， 又，∴1+≥1， 则B={y|y=1+}={y|y≥1}，∴∁UB={y|y＜1}， 则A∩∁UB={x|0＜x＜1}， 故选：A． 　 2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果 【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|， 可得z==1﹣i， 复数z对应的点为（1，﹣1）， 在复平面内z的共轭复数=1+i对应的点为（1，1），在第一象限． 故选：A． 　 3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T2m﹣1=512，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】由已知条件推导出am=2，从而Tn=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果． 【解答】解：设数列{an}公比为q am﹣1=，am+1=am•q， ∵am+1•am﹣1=2am，∴， ∴， 解得am=2，或am=0（舍）， ∵T2m﹣1=（am）2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29， ∴2m﹣1=9，解得m=5． 故选：B． 　 4．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（　　） A．[0，] B．[﹣，] C．[﹣，1] D．[﹣，] 【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）+，由周期公式可得ω=1，可得f（x）=sin（2x﹣）+，由x的范围，可得所求． 【解答】解：化简可得f（x）=sin2ωx+）+sinωxsin（ωx =+sinωxcosωx=+sin2ωxcos2ωx =sin（2ωx﹣）+， ∵函数的最小正周期为π， ∴=π，解得ω=1， ∴f（x）=sin（2x﹣）+， ∵x∈[0，]， ∴2x﹣∈[，]， ∴sin（2x﹣）∈[，1]， ∴f（x）=sin（2x﹣）+的值域为[0，] 故选：A 　 5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　） A．2 B． C．﹣1 D．1 【考点】程序框图． 【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，寻找规律，求出正确的结果． 【解答】解：模拟程序框图的运行情况，如下； 开始，s=2，k=1；1＜2013，是，s==﹣1，k=1+1=2， 2＜2013，是，s==，k=2+1=3， 3＜2013，是，s==2， … ∴程序框图计算s的值是以3为周期的函数， 当k=2012+1=2013时，2013＜2013，否，输出s=，结束； 故选：B． 　 6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率． 【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率． 【解答】解：展开式的通项为 ∴展开式的前三项系数分别为 ∵前三项的系数成等差数列 ∴解得n=8 所以展开式共有9项， 所以展开式的通项为= 当x的指数为整数时，为有理项 所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项 所以有理项不相邻的概率P=． 故选D 　 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】正弦定理． 【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果． 【解答】解：由cosA+sinA﹣=0， 整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2， 即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2， ∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1， ∴A﹣B=0，A+B=， 即A=B=，C=， 利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 则====． 故选B 　 8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（　　） A．120 cm3 B．80 cm3 C．100 cm3 D．60 cm3 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可． 【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3； 故选C． 　 9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，运用余弦定理即可判断三角形的形状． 【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心， 取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图： 则OD⊥BC，GD=AD， ∵，， 由=5， 则（）= =﹣•=5， 即﹣•（）=5， 则， 又BC=5， 则有||2=||2+||2＞||2+||2， 由余弦定理可得cosC＜0， 即有C为钝角． 则三角形ABC为钝角三角形． 故选：B． 　 10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　） A． B． C．4π D．2π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积． 【解答】解：平行四边形ABCD中， ∵•=0，∴AB⊥BD， 沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C， ∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C， ∴平面ABD⊥平面BDC ∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC， ∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2， ∵2||2+||2=4， ∴AC2=4 ∴外接球的半径为1， 故表面积是4π． 故选：C． 　 11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1、F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0 ） （x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用 =，得出∠MF1P=∠MF1F2，进而求出直线PF1的方程为y=（x+3），与双曲线联立可得P（3，），由此即可求出S﹣S的值． 【解答】解：∵=，∴|MF1|•cos∠MF1P=|MF1|•cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2． ∵F1 （﹣3，0）、F2（3，0），点M（2，1），∴|MF1|=，|MF2|=，|F1F2|=2c=6， 故由余弦定理可得 cos∠MF1F2==，∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=， ∴sin∠PF1F2==，∴tan∠PF1F2==， ∴直线PF1的方程为y=（x+3）． 把它与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|=， ∴sin∠MF1F2=，∴S△PMF1==， ∵S==， ∴S﹣S=﹣=2． 　 12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，] 【考点】其他不等式的解法；特称命题． 【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣）=2f（﹣）=﹣8， ∀s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：∀t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16， 不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可． 【解答】解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=， ∴x∈[0，2），f（0）=为最大值， ∵f（x+2）=f（x）， ∴f（x）=2f（x+2）， ∵x∈[﹣2，0]， ∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1， ∵x∈[﹣4，﹣3]， ∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2， ∵∀s∈[﹣4，2）， ∴f（s）最大=2， ∵f（x）=2f（x+2）， x∈[﹣2，0]， ∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4， ∵x∈[﹣4，﹣3]， ∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8， ∵∀s∈[﹣4，2）， ∴f（s）最小=﹣8， ∵函数g（x）=x3+3x2+m， ∴g′（x）=3x2+6x， 3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2， 3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0， 3x2+6x=0，x=0，x=﹣2， ∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增． 在（﹣2，0）单调递减， ∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16， ∵不等式f（s）﹣g（t）≥0， ∴﹣8≥m﹣16， 故实数满足：m≤8， 故选C． 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是　﹣332　． 【考点】二项式系数的性质． 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得常数项的值． 【解答】解：设==（﹣cosx+sinx）=1+1=2， 则多项式（a﹣）6•（x2+2）=（2﹣）6•（x2+2） =[••+++…+]（x2+2）， 故展开式的常数项为﹣×2×1﹣×2=﹣12﹣320=﹣332， 故答案为：﹣332． 　 14．以下四个命题中： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样， ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1， ③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19， ④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大． 以上命题中其中真命题的个数为　2　． 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断； ②利用相关性系数r的意义去判断； ③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断． ④根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题． 【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误， ②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确； ③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81， 则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确． ④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误， 故正确的是②③， 故答案为：2 　 15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　（0，4）∪（6，+∞）　． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论． 【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1， 设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）， 若∠APB=90°，则⊥， ∴•=（a+m）（a﹣m）+b2=0， ∴m2=a2+b2=|OP|2， ∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4， ∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）． 故答案为：（0，4）∪（6，+∞）． 　 16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为　（0，+∞）　． 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集． 【解答】解：设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x， 则g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）+e﹣x=﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]， ∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0， ∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵f（x）＞2015•ex+1，∴g（x）＞2015， ∵g（0）=e﹣0f（0）﹣e﹣0=f（0）﹣1=2016﹣1=2015， ∴g（x）＞g（0）．∴x＞0， ∴f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件∥， （1）求数列{an}的通项公式， （2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）=． ①求数列{bn}的通项公式， ②设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得Sn=2n+1﹣2，再由当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=S1，即可得到所求通项公式； （2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式； ②求得Cn==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（1）由向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），∥， 可得Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2， 当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n， 当n=1时，a1=S1=2，满足上式． 则有数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*； （2）①f（x）=（）x，b1=1，f（bn+1）=． 可得（）==（）， 即有bn+1=bn+1，可得{bn}为首项和公差均为1的等差数列， 即有bn=n； ②Cn==，前n项和Tn=1•+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n， Tn=1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1， 相减可得， Tn=+（）2+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1 =﹣n•（）n+1， 化简可得，前n项和Tn=2﹣． 　 18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点． （1）求证：AM∥平面SCD； （2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值； （3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD． （2）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的一个法向量，由此利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值． （3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1），利用向量法能求出sinθ的得最大值． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD， AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点， ∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）， ∴=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（﹣1，﹣2，0）， 设平面SCD的一个法向量为=（x，y，z）， 则，令z=1，得=（2，﹣1，1）， ∵=0，∴， ∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD． 解：（2）由题意平面SAB的一个法向量=（1，0，0）， 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0， 则cosα===， ∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为． （3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1）， ∵平面SAB的一个法向量=（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ ∴sinθ=|cos＜＞|==|| = =． 当，即x=时，sinθ取得最大值（sinθ）max=． 　 19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率． （3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX． 附表及公式 P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=． 【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论； （2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率； （3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可． 【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值， 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关； （2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示） 设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y， ∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为； （3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种， ∴X可能取值为0，1，2，，， X的分布列为： X 0 1 2 P ∴． 　 20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切． （1）求椭圆C的方程， （2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2， 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切， 可得d═=b，解得a=4，b=2，c=2， 故椭圆C的方程为=1； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48， 得（4+3m2）y2+18my﹣21=0， ∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣， 由A，P，M三点共线可知， =，即yM=•； 同理可得yN=•． 所以k1k2==． 因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49， 所以k1k2===﹣． 即k1k2为定值﹣． 　 21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （1）求f（x）的单调区间， （2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值， （3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得ef（x0）＜1﹣x02成立？请说明理由． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求导f′（x），解关于导函数的不等式，从而判断函数的单调区间； （2）化简可得xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，求导g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值； （3）假设存在这样的x0满足题意，从而化简可得x02+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，取x0=﹣lna，从而可得hmin，根据函数的单调性求出x0的值即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x， ∴f′（x）=﹣1=﹣， ∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0； 故f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）； （2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣）， ∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣）， ∴lnx+1＞k（1﹣）， 即xlnx+x﹣kx+3k＞0， 令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k， 则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k， ∵x＞1， ∴lnx＞0， 若k≤2，g′（x）＞0恒成立， 即g（x）在（1，+∞）上递增； ∴g（1）=1+2k≥0， 解得，k≥﹣； 故﹣≤k≤2， 故k的最大值为2； 若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2， 故g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增； ∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2， 令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2， ∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减； ∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0； ∴k的最大取值为4， 综上所述，k的最大值为4． （3）假设存在这样的x0满足题意， ∵e f（x0）＜1﹣x02， ∴x02+﹣1＜0， 令h（x）=x2+﹣1， ∵h′（x）=x（a﹣）， 令h′（x）=x（a﹣）=0得ex=， 故x=﹣lna，取x0=﹣lna， 在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0； ∴hmin（x）=h（x0）=（﹣lna）2﹣alna+a﹣1， 在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2﹣alna+a﹣1， 则p′（a）=（lna）2≥0， 故p（a）在（0，1）上是增函数， 故p（a）＜p（1）=0， 即当x0=﹣lna时符合题意． 　 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4一1：几何证明选讲] 22．（选修4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． 【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB． （II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=． 【解答】（I）证明：连接DE交BC