2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学（文）试题（解析版）.doc

2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学（文）试题 一、单选题 1．复数z满足，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以,选B. 2．已知集合，，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由二次不等式的解法得，再结合交集的运算即可得解. 【详解】 解：因为， 又， 所以， 故选：C. 【点睛】 本题考查了二次不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 3．已知向量满足，且与的夹角为，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由向量数量积的运算可得，再结合向量模的运算即可得解. 【详解】 解：因为向量满足，且与的夹角为， 所以， 所以， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题. 4．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值. 【详解】 由等差数列的性质可得， . 故选：B. 【点睛】 本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ） 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10% 【答案】B 【解析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项 【详解】 对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确； 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误； 对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确； 对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确, 故选：B 【点睛】 本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题 6．已知在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程，再结合双曲线离心率的求法求解即可. 【详解】 解：由双曲线方程为， 则双曲线的渐近线方程为， 又在双曲线的渐近线上， 则， 即， 即， 即， 故选：D. 【点睛】 本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题. 7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可 【详解】 由题,的定义域为, 因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C； 又因为,则当时,,,所以, 故选：D 【点睛】 本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象 8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案.为了测算纪念图案的面积，如图所示，作一个面积约为的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先阅读题意，再结合随机模拟实验的结果求解即可. 【详解】 解：设纪念图案的面积为， 由随机模拟实验可得，则 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了随机模拟实验，重点考查了利用随机模拟实验求几何图形的面积，属基础题. 9．已知函数，把函数的图象上每个点向右平移个单位得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由三角函数图像的平移变换可得，然后由三角函数图像的对称轴方程的求法求解即可. 【详解】 解：把函数的图象上每个点向右平移个单位得到函数的图象， 则， 令，即， 即函数的对称轴方程为， 即函数的一条对称轴方程为， 故选：C. 【点睛】 本题考查了三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称轴方程的求法，属基础题. 10．设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题： ①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交； ③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行． 其中，一定正确的是（ ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项 【详解】 由题,对于②,当直线平面时,②不成立； 对于④,当直线平面时,④不成立； 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立, 故选：B 【点睛】 本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键 11．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可解得点、坐标，由，得，把代入该式整理后两边同除以，得的方程，解出即可，注意的取值范围 【详解】 解：由，消可得得，解得，分别代入， ，，，， ，，，， ， ， 把代入式并整理得， 两边同除以并整理得，解得 ， 故选． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 12．己知函数满足，函数，若方程有2019个解，记为，则( ) A．2019 B．4038 C．2020 D．4040 【答案】A 【解析】由已知有函数与函数的图像都关于点对称，又方程的解等价于函数的图像与函数的图像交点的横坐标，再结合函数图像的对称性求解即可. 【详解】 解：因为函数满足，则函数的图像关于点对称，又函数，则，即函数的图像也关于点对称， 又方程的解等价于函数的图像与函数的图像交点的横坐标， 由题意可得函数的图像与函数的图像交点关于点对称， 且每组对称点的横坐标之和为， 又有2019个解，则， 故选：A. 【点睛】 本题考查了函数图像的对称性，重点考查了方程的解与函数图像交点的关系，属中档题. 二、填空题 13．已知函数满足，则a的值为________. 【答案】2018 【解析】先由分段函数解析式可得，再分类讨论得不等式组或，然后求解即可. 【详解】 解：由分段函数解析式可得， 又，则， 则或， 解得：， 故答案为：. 【点睛】 本题考查了分段函数求值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 14．已知，则________. 【答案】 【解析】由，然后求解即可. 【详解】 解：因为， 所以， 故答案为：. 【点睛】 本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了角与角之间的关系，属基础题. 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则外接圆的面积为________. 【答案】. 【解析】先由正弦定理可得然后结合两角和的正弦公式求出，再求出外接圆的半径为2，再结合圆的面积公式求解即可. 【详解】 解：因为 由正弦定理可得： 即 即 又， 即， 又， 所以， 设外接圆的半径为， 则 ， 即， 则外接圆的面积为， 故答案为：. 【点睛】 本题考查了正弦定理及两角和的正弦公式，重点考查了圆的面积公式，属中档题. 16．如图所示，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子恰好在正八面体的顶点上，而硫原子恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________. 【答案】. 【解析】当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，由正八面体的性质可得球心为点，再结合锥体及球体的体积公式求解即可. 【详解】 解：由正八面体的性质可得： 当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，且球心为点， 设外接球的半径为，则正八面体的体积为， 又正八面体的外接球的体积为， 则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为, 故答案为：. 【点睛】 本题考查了正八面体的外接球的有关问题，重点考查了锥体及球体的体积公式，属中档题. 三、解答题 17．已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可； （2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可. 【详解】 解：（1）因为是正数等比数列，且 所以， 即 分解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】 本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题. 18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图乙），得到如下资料： 最高温度最低温度 甲 乙 （1）请画出发芽数y与温差x的散点图； （2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性； （3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）； ②若12月7日的昼夜温差为，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数. 参考数据：. 参考公式： 相关系数：（当时，具有较强的相关关系）. 回归方程中斜率和截距计算公式：. 【答案】（1）见解析； （2）y与x的线性相关程度较强； （3）①；②20颗. 【解析】（1）结合题设所给数据作出散点图即可； （2）结合题设所给数据，求出相关系数的值，再作出判断即可； （3）结合题设所给数据，由最小二乘估计公式求出发芽数y与温差x之间的回归方程，从而运算即可得解. 【详解】 解：（1）散点图如图所示 （2） 因为y与x的相关系数近似为，说明y与x的线性相关程度较强， 从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的； （3）由最小二乘估计公式，得 ， ， 所以， 当时，（颗）， 所以，估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗. 【点睛】 本题考查了散点图的作法，主要考查了回归方程的求法，重点考查了运算能力，属中档题. 19．如图甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD（E，F重合，记为点P）. 甲 乙 （1）求证：； （2）求点M到平面BDP距离h. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）先证明平面ADP，再证明即可； （2）利用等体积法，由，然后结合锥体体积公式求解即可. 【详解】 解：（1）因为，所以， 又，AP，平面ABP， 所以平面ABP， 因为平面ABP，所以； 由已知得，， 所以是等边三角形， 又因为点M是AP的中点，所以； 因为平面ADP， 所以平面ADP， 因为平面ADP， 所以. （2）取BP中点N，连结DN， 因为平面ABP，， 所以，所以， 所以，在中， ， 所以， 因为平面ABP， 所以， 因为， 所以， 又， 所以， 即点M到平面BDP的距高为. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了利用等体积法求点到面的距离，属中档题. 20．已知函数. （1）若的极值为0，求实数a的值； （2）若对于恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先求函数的导函数，再讨论函数的单调性，从而确定函数的极值，然后求参数的值即可； （2）先将命题转化为对于恒成立，再构造函数，，则原问题转化为， 再结合导数的应用求解即可. 【详解】 （1）由题得， ①当时，恒成立， 在上单调递增，没有极值. ②当时，由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在时取到极小值， 的极值为0， ， 即， ； （2）由题得对于恒成立， 对于恒成立， 令，原问题转化为， 又， 令， 则在上恒成立， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， . 【点睛】 本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属综合性较强的题型. 21．已知抛物线，在x轴正半轴上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，O两点. （1）设，证明：抛物线在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称； （2）通过解答（1），猜想求过抛物线上一点（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）先求函数的导函数，再求抛物线在点P、Q处的切线方程，然后求两直线的交点坐标即可得证； （2）先由（1）猜想切线方程为直线，再利用导数求曲线在某点处的切线方程即可得证. 【详解】 （1）当时，点， 由得， 故或， 所以在点P处的切线方程为， 即， 在点Q处的切线方程为， 即， 由得交点， 所以交点N与M关于原点O对称. （2）过点作与x轴垂直的直线交x轴于点， 作点M关于原点对称的点， 猜想切线方程为直线， 即，其中, 由得， 或, 所以在点处的切线斜率为或, 故点处的切线方程为: 或, 由得或, 所以在点处切线方程为, 整理得， 即. 【点睛】 本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了两直线交点坐标的求法，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型. 22．在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程； （2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标． 【答案】（1）圆的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为 【解析】（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可； （2）法一：利用参数方程设曲线上的点,利用点到直线距离公式可得,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回求得坐标； 法二：为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得所在直线为,联立直线与圆的方程即可求得交点的坐标 【详解】 （1）圆的方程可化为,圆心为,半径为, ∴圆的参数方程为（为参数）, 直线的极坐标方程可化为, ∵,∴直线的直角坐标方程为 （2）法一：设曲线上的点, 点到直线：的距离： , 当时,, 此时点的坐标为,所以,此时点的坐标为 法二：曲线是以为圆心,半径为的圆, 圆心到直线的距离, 所以, 此时直线经过圆心,且与直线垂直, ,所以,所在直线方程为,即, 联立直线和圆的方程,解得或, 当取得最小值时,点的坐标为, 所以,此时点的坐标为 【点睛】 本题考查圆的普通方程与参数方程的转化,考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查直线上一点到圆的距离最小值问题 23．已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最大值为，若，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可； （2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可 【详解】 （1）由题,, ①当时,恒成立,所以； ②当时,即,所以； ③当时,显然不成立,所以不合题意： 综上所述,不等式的解集为 （2）由（1）知,于是, 由基本不等式可得, 当且仅当时取等,所以 【点睛】 本题考查解绝对值不等式,考查利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用 第 21 页 共 21 页