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河北省
衡水
中学
2018
年高
下学
期期
考试
数学
试题
答案
2018年全国高三统一联合考试
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,,,则集合是( )
A. B. C. D.
2.已知复数的实部不为0,且,设,则在复平面上对应的点在( )
A.实轴上 B.虚轴上 C.第三象限 D.第四象限
3.将的展开式按的升幂排列,若倒数第三项的系数是,则的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图,则三棱柱的体积与球的体积之比是( )
A. B. C. D.
5.设,分别是双曲线的左、右焦点,以为圆心、为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为,若,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
6.若函数,是不为零的常数)在上的值域为,且在区间上是单调减函数,则和的值是( )
A., B., C., D.,
7.已知函数(,,均为常数)的图象关于点对称,则的值是( )
A. B. C. D.2
8.已知“”,且“”,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.“三个臭皮匠,楔个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大,假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为;同时,有个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独研究项目M,且这个人组成的团队也同时研究项目M,设这个人团队解决项目M的概率为,若,则的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.已知向量,,,其中,则的值是( )
A. B. C. D.
11.设函数定义如下表:
1
2
3
4
5
1[来源:学科网ZXXK]
4
2
5
3
执行如图所示的程序框图,则输出的的值是( )
A.4 B.5 C.2 D.3
12.已知异面直线,所成的角为,直线与,均垂直,且垂足分别为,,若动点在直线上运动,动点在直线上运动,,则线段的中点的轨迹所围成的平面区域的面积是( )
A.2 B.4 C.8 D.12
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.抛物线的焦点到它的准线的距离是____________.
14.若实数,满足,则取得最大值时对应的最优解是____________.
15.已知在中,角的对边分别是,,,,则____________.
16.已知函数,关于的方程有以下四个结论:
①当时,方程有3个实根;②当时,方程有3个实根;③当时,方程有2个实根;④当时,方程有4个实根.
以上结论中正确的有____________(填序号).
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知正项等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.如图,在三棱柱中,,过的平面分别交,于点,.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)若平面,为中点,为中点,求二面角的余弦值.
19.最近,在“我是演说家”第四季这档节目中,英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发,点赞的人数更是不断增加,对一周(7天)内演讲视频被转发的天数与点赞的人数进行了统计,数据见下表:
[来源:Z_xx_k.Com]
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
114
210
根据所给数据,画出了散点图以后,发现演讲视频被转发的天数与点赞的人数的关系可以近似地表示为(均为正常数).
(题中所有数据的最后计算结果都精确到)
(1) 建立关于的回归方程;
(2) 试预测,至少经过多少天,点赞的人数超过12000?
附:①对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
②参考数据:
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上一点在轴上的射影恰好为,且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当时,过点的射线与椭圆交于不同的两点,,若点在射线上,且满足,求点的横坐标的取值范围.
21.已知函数.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(1)设(其中),求证:.
(2)若曲线与抛物线有两个公共点,求实数的取值范围.
22.已知圆的极坐标方程为,直角坐标系的坐标原点与极点重合,轴的正半轴与极轴重合.
(1)求圆的标准方程和它的一个参数方程;[来源:学科网ZXXK]
(2)设是圆上的任意一点,求的最大值.
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,求的取值范围.