江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析.doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题） 1. 设集合A={x|x2+2x-3=0}，B={-3，-1，1，3}，则A∩B=（　　） A. B. C. D. 2. =（　　） A. B. C. i D. 2i 3. “0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 已知tanα=，且α∈（π，），则cos（α-）=（　　） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足|+|=||，且（-）•=0，则，的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，b1+b6+b11=7π，则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 8. 在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x=2，类比上述结论可得log2[2+log2（2+log2（2+…））]的正值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 9. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（　　） A. B. C. D. 10. 函数的大致图象是(        ) A. B. C. D. 11. △ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（　　） A. B. C. D. 12. 已知函数f（x）=ex-ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a＜e；②x1+x2＜2；③x1•x2＞1；④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0．则正确判断的个数是（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量=（x，x-2），=（3，4），若，则向量的模为______． 14. 已知α，β均为锐角且tanα=7，，则α+β=______． 15. 设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______． 16. 已知函数，g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 18. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求∠B的值； （2）若a=4，，求△ABC的面积． 19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SB=SD． （1）证明：BD⊥SA； （2）若面SBD⊥面ABCD，SB⊥SD，∠BAD=60°，AB=1，求B到平面SAD的距离． 20. 已知函数f（x）=ax-sinx-1，x∈[0，π]． （1）若，求f（x）的最大值； （2）当时，求证：f（x）+cosx≤0． 21. 已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P． （1）求的值； （2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|的最小值． 22. 在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）． （1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程； （2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积． 23. 已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）． （1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围． 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：∵A={-3，1}，B={-3，-1，1，3}， ∴A∩B={-3，1}． 故选：A． 可以求出集合A，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题． 2.【答案】C 【解析】解：===i， 故选：C． 将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简． 本题考查两个复数相除的方法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 3.【答案】A 【解析】解：由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得-1＜x＜1， 则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件， 故选：A． 根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键． 4.【答案】A 【解析】解：因为tana==， 所以cosa=2sina， 所以cos2a=4sin2a， 因为sin2a+cos2a=1， 所以sin2a=， 因为α∈（π，）， 所以sina＜0 sina=-． 故选：A． 利用同角三角函数关系解答． 本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查． 5.【答案】C 【解析】解：由|+|=||，得， 由（-）•=0，得， 两式联立得， 所以===， 又∈[0°，180°]， 所以=60°， 故选：C． 把|+|=||平方展开，又（-）•=0，联立解出，再利用向量的夹角公式，求出角． 考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，联立解方程组，中档题． 6.【答案】D 【解析】解：将函数f（x）=cos（3x+）图象上所有的点向右平移个单位长度后， 得到函数g（x）=cos[3（x-）+]=cos（3x-）的图象， 则=cos（3×-）=cos=-． 故选：D． 利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可． 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题． 7.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查等差数列和等比数列的中项性质和特殊角的正切函数值，考查运算能力，属于基础题． ​由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得所求值． 【解答】 解：数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列， 若，b1+b6+b11=7π， 可得（a6)3=3，3b6=7π， 即有a6=，b6=π， 则=tan ​=tan=tan=​， 故选D． 8.【答案】C 【解析】解：由题意可得x=log2（2+x），x＞0，∴2x=x+2，解得x=2． 故选：C． 通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解即可． 类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理．通过类比推理考核研究问题的深度、思维发散情况和观察的仔细程度．属于中档题． 9.【答案】C 【解析】解：依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”， 则事件A包含的基本事件个数为=3种， 而基本事件的总数为=10， 所以P（A）=， 故选：C． 根据计数原理以及排列组合求出“恰好选中2名女生”包含的基本事件个数和基本事件的总数，即可得到所求． 本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理和排列组合．考查分析解决问题的能力，属于基础题． 10.【答案】B 【解析】【分析】 ​本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题． 先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断． 【解答】 ​解：由于f(x)=x+cosx， ∴f(-x)=-x+cosx， ∴f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，故此函数是非奇非偶函数，排除A、C； 又当x=时，x+cosx=x， 即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D． 故选：B． 11.【答案】D 【解析】解：△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上， ∴A与B为双曲线的两焦点， 根据双曲线的定义得：|AC-BC|=2a=8，|AB|=2c=10， 则==±=±． 故选：D． 根据题意，求出△ABC的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可． 本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目． 12.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题． 利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：对于①，∵f（x）=ex-ax， ∴f'（x）=ex-a，令f'（x）=ex-a＞0， 当a≤0时，f'（x）=ex-a＞0在x∈R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增． 当a＞0时，∵f'（x）=ex-a＞0，∴ex-a＞0，解得x＞lna， ∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． ∵函数f（x）=ex-ax有两个零点x1、x2， ∴a＞0，f（lna）＜0， ∴elna-alna＜0， ∴a＞e，所以①正确； 对于②，x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2）， 取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②正确； 对于③，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴所以③不正确； 对于④，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，所以④正确． 综上，正确的命题序号是①②④． 故选B． 13.【答案】10 【解析】解：∵∥，∴4x-3（x-2）=0，解得x=-6， ∴=（-6，-8），∴||==10 故答案为：10 根据向量平行的坐标表示得到x=-6，然后根据向量模的定义求出向量的模， 本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题． 14.【答案】 【解析】解：∵tanα=7，， ∴tan（α+β）===-1． 又0＜α＜，0＜β＜， ∴0＜α+β＜π，则α+β=． 故答案为：． 由已知结合两角和的正切求得tan（α+β），再由角的范围求解α+β的值． 本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，是基础题． 15.【答案】-3 【解析】解：D为△ABC所在平面内一点，=-+， 则：， 整理得：， 则：， 解得：， 若=λ， 则：λ=-3； 故答案为：-3． 直接利用向量的线性运算求出结果． 本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题． 16.【答案】[-，3e] 【解析】解：g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx， ∴直线y=1-mx与y=2lnx在[，e2]上有交点． 作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象， 如图所示： 若直线y=1-mx经过点（，-2）， 则m=3e， 若直线y=1-mx与y=2lnx相切， 设切点为（x，y）． 则，解得． ∴-≤m≤3e． 故答案为：[-，3e]． 求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m的范围． 本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题． 17.【答案】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25． 则：，解得， 所以an=1+2（n-1）=2n-1． （2）由于an=2n-1， 所以bn===． 则==． 【解析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式． （2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得， ∵， ∴sinBcosC+cosBsinC-sinC=sinBcosC， ∴； ∵sinC≠0，∴， ∵B∈（0，π），∴. （1）法二：由余弦定理得 化简得， ∴. ∵B∈（0，π），∴. （2）由，得sinC==, 在△ABC中， ∵  ， 由正弦定理， 得， . 【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力． （1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可． （2）求出sinC的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可． 19.【答案】（本小题满分12分） 证明：（1）连接AC交BD于O，连接SO．…………（1分） 在菱形ABCD中，BD⊥AC，O是BD的中点， 又因为SB=SD，所以BD⊥SO，又AC∩SO=O， 所以BD⊥面SAC…………（4分） 又SA⊂面SAC，所以BD⊥SA．…………（5分） 解：（2）因为面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，SO⊥BD，SO⊂面SBD， 所以SO⊥面ABCD，即SO是三棱锥S-ABD的高．…………（7分） 依题意可得，△ABD是等边三角形，所以BD=AD=1，， 在等腰Rt△SBD，， …………（9分） 经计算得，SA=1， 等腰三角形ASD的面积为…………（10分） 设B到平面SAD的距离为h， 则由VB-SAD=VS-ABD，得，解得， 所以B到平面SAD的距离为．…………（12分） 【解析】（1）连接AC交BD于O，连接SO，推导出BD⊥SO，BD⊥面SAC，由此能证明BD⊥SA． （2）推导出SO是三棱锥S-ABD的高，设B到平面SAD的距离为h，由VB-SAD=VS-ABD，由此能求出B到平面SAD的距离． 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：当时，， 由f′（x）=0，得，∴时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0， 因此f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴f（x）的最大值为=； （2）证明：先证， 令， 则=， 由，x∈[0，π]与的图象易知，存在x0∈[0，π]，使得g'（x0）=0， 故x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，π）时，g'（x）＞0， ∴g（x）的单调递减区间为（0，x0），单调递增区间为（x0，π）， ∴g（x）的最大值为max{g（0），g（π）}， 而g（0）=0，g（π）=0． 又由，x≥0，∴， 当且仅当，取“=”成立， 即f（x）+cosx≤0． 【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒等式的证明，考查数学转化思想方法，属难题． （1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号确定函数单调性，求得函数极值点，进一步求得函数最值； （2）利用导数证明，再由且x≥0时，，可得当时，f（x）+cosx≤0． 21.【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为， 所以设AB的方程为， 代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1+x2=2k，x1x2=-1， 又因为，， 因此kPA•kPB=x1x2=-1，即PA⊥PB， 所以． （2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，， 得到交点． 由点P在圆x2+y2=8内得， 又因为， ，其中d为O到直线AB的距离． 所以． 又AB的方程为， 所以d=， 令，由得m＜33．又由，所以m∈[2，33）， 从而． 所以，当m=2时，． 【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1x2=-1，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解． （2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，， 得到交点．判断点P在圆内，求出弦长AB，求出O到直线AB的距离的表达式d=， 利用构造法结合基本不等式求解最小值即可． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 22.【答案】解：（1）设P（ρ，θ）为圆上任意一点，则|OP|=ρ，∠POB=θ-， 在Rt△POB中，cos（θ-）=，即， ∴ρ2=2ρ cosθ+2ρ sinθ⋅，化为x2+y2=2x+2y， ∴圆C的直角坐标方程为 （x-1）2+（y-1）2=2． （2）由直线l的参数方程消去参数t化为普通方程y=2x+1， 圆心C（1，1）到直线l的距离为d==， 弦长|MN|=2=， ∴S==． 【解析】（1）设出点P的坐标，利用Rt△OPB中的边角关系即可求出； （2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积． 熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键． 23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|， 由f（x）＞1， 得或或， 解得：＜x≤2或2＜x＜3， 故不等式的解集是（，3）； （2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x）， f（x）＜2x+1恒成立， 即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立， 整理得：（2-x）m＞-x， 当x=2时，0＞-2成立， 当x∈[-1，2]时，m＞=1-， 令g（x）=1-， ∵-1≤x＜2， ∴0＜2-x≤3， ∴≥， ∴1-≤， 故g（x）max=， 故m＞． 【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可； （2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题． 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。