2020届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试数学（理）试题.doc

姓名 班级 装 订 线 考号 哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试 高三理科数学 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，集合，则 集合的子集个数为 （ ） A. 3 B.4 C.7 D.8 3.已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为 （ ） A.和 B.和 C.和 D.和 4.已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半 ，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　) A．24里 B．48里 C．96里 D．192里 6.已知函数，则函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7.设函数，若，则实数的值为（ ） A. B.或 C. D. 或 8.已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，,则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9.某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A.160 B.80 C.40 D.20 10.已知分别为矩形的边与的中点，为线段的中点，把矩形沿折到，使得,若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11.已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 12.已知定义在上的偶函数满足，且时，，则函数在上的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.在的展开式中，项的系数为. 14.已知水平放置的底面半径为20，高为100的圆柱形水桶，水桶内水面高度为50cm，现将一个高为10圆锥形铁器完全没入水桶中(圆锥的底面半径小于20),此时水桶的水面高度上升了2.5,则此圆锥形铁器的侧面积为.（忽略水桶壁的厚度） 15.已知均为正实数，若，则的最小值为. 16.已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点，若，且弦的中点纵坐标为，则抛物线的方程为. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 在中，设边所对的角分别为，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的周长为，求的值. 18.（本小题满分12分） 如图所示,四棱锥的底面是直角梯形，平面，,为中点，且. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分） 已知正项数列的前项和为，若,. （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）设，求数列的前项和. 20.（本小题满分12分） 已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. （Ⅰ）求动点轨迹的方程； （Ⅱ）过的直线交轨迹于两点，若轨迹上存在点，使,求直线的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数，. （Ⅰ）证明：当时，函数在区间上单调递增； （Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分． 22.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值. 23.（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 设（） （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求的取值范围. 2020届理科数学期末试题答案 1- ------5 ADCDC 6------10 ABBCA 11---12 BC 13.；14. ,15.5; 16. 17.解：（Ⅰ）因为 由正弦定理得 ——————————2分 ,, ,,——————————5分 （Ⅱ）由余弦定理得 ——————————7分 因为周长，又，————————————9分 所以，所以——————————————12分 18. 解（Ⅰ）证明 ：因为平面，平面，所以---------1 在直角梯形中，得出，-----------2分 又,所以平面.---------4分 （Ⅱ） 因为平面，所以是与底面所成角，，所以------6分 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 面的法向量，---------8分 面的法向量------------10分 ----------11 二面角的余弦值为-------12分 19.（本小题满分12分） 解（Ⅰ）证明：时， 作差得 ，又 ，所以有 -------3分 （Ⅱ）因为时，，所以的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以为首项，2为公差的等差数列； 所以；-------------7分 所以---------------8分 （Ⅲ），————————12分 20.（本小题满分12分）解（Ⅰ）设因为，到定点的距离与到定直线的距离之比为，所以有——————————————2分 代入得————————————4分 （Ⅱ）由题意直线斜率存在，设 （2） 联立方程得，，，∴恒成立 ∴，---------5分 ,所以 代入椭圆有，又，————————6分 得 ，——————————————————9分 得 代入得——————————————11分 直线方程：—————————12分 21. （本小题满分12分） （Ⅰ） 当时，——————————1分 ，， 当时，，当时， 所以在区间增，在区间为上减 所以，即，所以函数在区间上单调递增————————4分 （Ⅱ）设 ，所以在上单调递增,——————5分 （1）当，即时，在上是单调递增的，， 所以————————8分 （2）当，即时，， 故存在唯一的，使，所以当时，，当时，，所以在区间增，在区间为上减 所以，，又 得，——————————10分 又易得是随而增大的，所以 综上：——————————12分 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为—————————2分 ，，得————————3分 所在直线的极坐标方程,（或和）——————5分 （Ⅱ）把，代入，， 得；——------6分 又，则，——————9分 所以，------10分 23.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：；——————5分 （Ⅱ）————————7分 ————————10分 10第 页