2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题（解析版）.doc

2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题 一、单选题 1．设集合，，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可. 【详解】 集合， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题. 2．若（是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数． 【详解】 ，∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 3．已知向量，满足，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】由向量数量积的运算法则计算． 【详解】 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题． 4．已知，则的值为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果. 【详解】 由题意得： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值. 5．函数的图象可能是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项. 【详解】 是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ，当时，， ，排除C. 故选：D . 【点睛】 本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 6．在二项式的展开式中，的系数为（　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【答案】A 【解析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案. 【详解】 由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得， 即展开式中的系数为，故选A. 【点睛】 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】得出n年后的沙漠化土地面积y关于n的函数，从而得出答案． 【详解】 设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y， 则y＝7×（1﹣10%）n， 故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96． 故选：C． 【点睛】 本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题． 8．已知函数的部分图像如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【解析】利用函数的图象求得的值，再利用左加右减的平移原则，得到向右平移个单位得的图象. 【详解】 因为， 所以. 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以. 所以， 所以的图象向右平移个单位 可得的图象. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用函数的图象提取信息求的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量而言的. 9． 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|≤1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2；共7种情况，甲乙出现的结果共有3×3=9，故出他们”心有灵犀”的概率为. 【考点】主要考查了组合及古典概型的概率问题. 点评：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数． 10．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解. 【详解】 双曲线的渐近线方程为， 由对称性，不妨取，即． 又曲线化为， 则其圆心的坐标为，半径为． 由题得，圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式．可得． 解得，所以． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。所以，应选答案B。 12．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案. 【详解】 构造函数，因为，所以 则，所以为偶数 当时，，所以在上单调递增， 所以有，则，即，即. 故选： 【点睛】 本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键. 二、填空题 13．直线是曲线的一条切线，则实数 。 【答案】 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。 14．在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = 【答案】1 【解析】【详解】 由正弦定理可得,即 ,故,, . 再由 可得,解得 . 故答案为 1. 15．圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】. 【解析】依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积． 【详解】 解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，． 圆锥的高．圆锥的体积． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题． 16．已知圆关于直线对称，则的最小值为________． 【答案】. 【解析】由题意可得圆心在直线上，故有，即，再利用基本不等式求得的最大值． 【详解】 解：因为圆关于直线对称； 所以圆心在直线上，故有，即； 所以：； （当且仅当时等号成立） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题． 三、解答题 17．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意根据等差中项的性质可得，从而求出，，由此能求出数列的通项公式． （2）推导出，由此利用等差数列前项和公式求出数列的前项和． 【详解】 （1）∵成等差数列，且数列是公比为2的等比数列， ∴， ∴ 解得：，∴． ∴数列的通项公式为； （2）∵， ∴． 【点睛】 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 18．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛. （1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率； （2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可 【详解】 （1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人. 所以. （2）的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 【点睛】 本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题 19．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面. （1）证明：； （2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由平面平面可得面，从而可得； （2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】 （1）依题意，面面，， ∵面，面面， ∴面. 又面， ∴. （2）解法一：向量法 在中，取中点，∵， ∴，∴面， 以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，∵，∴， ∴，，，，， ∴，，. 设面法向量为， 则，解得. 设直线与平面所成角为， 则， 因为，∴. 所以直线与平面所成角的余弦值为. （2）解法二：几何法 过作交于点，则为中点， 过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结， 过作交于点，连结， 连结，取中点，连结，， 四边形为矩形，所以面，所以， 又，所以面， 所以为线与面所成的角. 令，则，，， 由同一个三角形面积相等可得， 为直角三角形，由勾股定理可得， 所以， 又因为为锐角，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【点睛】 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．已知函数，. （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值. 【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值； (Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值. 【详解】 (Ⅰ)设， ∴， 令，则；，则； ∴在上单调递增，上单调递减， ∴，无极小值. (Ⅱ)由，即在上恒成立， ∴在上恒成立， 设，则， 显然， 设，则，故在上单调递减 由，， 由零点定理得，使得，即 且时，，则， 时，. 则 ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴， 又由，，则 ∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1. 【点睛】 本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆的方程； （2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值. 【答案】(1) . (2). 【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值. 试题解析： （Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为. 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得. 故椭圆的方程为. （Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在. 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为. 代入椭圆方程得 . 因为 ， 所以. 设，， 根据根与系数的关系得，. 则 . 因为，即 . 整理得. 令，则. 所以 . 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意. 故的最大值为. 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求和的直角坐标方程； （2）设点，直线交曲线于两点，求的值. 【答案】（1）:,:（2） 【解析】（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案. 【详解】 （1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得； 由，得，则曲线的直角坐标方程为. （2）将直线的参数方程代入，得， 设对应的参数分别为，则， . 【点睛】 本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键. 23．已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若的解集包含，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案. （2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案. 【详解】 （1），由，解得， 故不等式的解集是； （2）的解集包含，即当时不等式恒成立， 当时，，，即， 因为，所以， 令，，易知在上单调递增， 所以的最小值为，因此，即的取值范围为. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键. 第 19 页 共 19 页