广东省广州市天河区2020届高三高考一模数学（理）试题 Word版含解析.doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合，集合，则　　 A．， B．， C． D． 2．（5分）设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　 A．18 B．36 C．45 D．60 4．（5分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．若，，且，则 5．（5分）的展开式的常数项是　　 A． B． C．2 D．3 6．（5分）已知，，满足，则下列各选项正确的是　　 A． B． C． D． 7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 8．（5分）在矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则　　 A． B． C． D． 9．（5分）函数图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是　　 A．36 B．24 C．72 D．144 11．（5分）已知函数，若方程的解为，，则　　 A． B． C． D． 12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．（5分）已知数列满足，，则当时，　　 ． 14．（5分）设当时，函数取得最大值，则　 　． 15．（5分）已知函数在处有极小值10，则　　 ． 16．（5分）在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是　 　． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）在锐角中，角，，对应的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积，．求的值． 18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值． 19．（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值． 20．（12分）某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品． （Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率； （Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差” 为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下： 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率． （Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望． （Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则；，，． 21．（12分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若存在成立，求整数的最小值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线和直线的直角坐标方程； （2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数． （1）若时，解不等式； （2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围． 2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合，集合，则　　 A．， B．， C． D． 【解答】解：，或， ，． 故选：． 2．（5分）设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：设复数， ，； ，； 复数，， 复数在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：． 3．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　 A．18 B．36 C．45 D．60 【解答】解：， ， ． 故选：． 4．（5分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．若，，且，则 【解答】解：由，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知： 在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误； 在中，若，，则与相交或平行，故错误； 在中，若，，且，，则与相交或平行，故错误； 在中，若，，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得，故正确． 故选：． 5．（5分）的展开式的常数项是　　 A． B． C．2 D．3 【解答】解：第一个因式取，第二个因式取，可得； 第一个因式取2，第二个因式取，可得 的展开式的常数项是 故选：． 6．（5分）已知，，满足，则下列各选项正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，因为为上的增函数，所以； 应为为上的增函数，且，所以，； 满足， 所以，所以， 所以， 又因为为的增函数， 所以， 综上：． 故选：． 7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数； 数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数； 则一共可以表示个两位数； 故选：． 8．（5分）在矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 矩形中，，， 则，，，； 直线的方程为； 由，则直线的方程为，即； 由，解得， ， 所以，，，， 所以． 故选：． 9．（5分）函数图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 则， 则是偶函数，则图象关于轴对称，排除，， 当时，（1），排除， 故选：． 10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是　　 A．36 B．24 C．72 D．144 【解答】解：根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中， 故有种， 故选：． 11．（5分）已知函数，若方程的解为，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 又因为方程的解为，， ，， ， 因为，， ， 由，得， ， 故选：． 12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数，导数． 由题意可得，，且． 即有， 化为， 而， ， 化为对，都成立， 令，，， ，对，恒成立， 即在，递增， （4）， ， ，即的取值范围是，． 故选：． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．（5分）已知数列满足，，则当时，　　． 【解答】解：数列满足， ，， 则， ， ， ， 由此可得当时，． 故答案为：． 14．（5分）设当时，函数取得最大值，则　　． 【解答】解：； 当时，函数取得最大值 ； ，； ． 故答案为：． 15．（5分）已知函数在处有极小值10，则　15　． 【解答】解：， 函数在处有极小值10， （1），（1）， ，， 解得，或，， 当，时， ， 此时是极小值点； 当，时， ， 此时不是极小值点． ，， ． 故答案：15． 16．（5分）在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是　　． 【解答】解：如图所示，取的中点，连接，．设为的中心，为三棱锥外接球的球心． 连接，，．取的中点，连接． 则为棱锥外接球的半径．为矩形． ． 三棱锥外接球的表面积． 故答案为：． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）在锐角中，角，，对应的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积，．求的值． 【解答】解：（1）． ，可得：，解得：，或， 为锐角三角形， ， 可得：． （2），可得：， 又，可得：， 在中，由余弦定理可知，， ， 在中，由正弦定理可知：，可得：． 18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值． 【解答】解：（1）， 可得， 由，即，①，由，可得，， 可得，即，② 由①②解得舍去），， 则； （2）， 可得， ， 则 ， 可得或9时，取最大值18． 则的值为8或9． 19．（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）如图，取中点，连接，， 因为， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ，分别为，中点， 所以， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以平面． （2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系， 显然二面角为锐二面角，设该二面角为， 向量，0，是平面的法向量，设平面的法向量，，， 由题意可知， 所以，0，，，，，，0，，，0， 所以，，，，0，， 则，即， 所以，，， 所以． 20．（12分）某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品． （Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率； （Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差” 为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下： 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率． （Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望． （Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则；，，． 【解答】解：（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率为； 则这10片中至少有1片是废品的概率为；（3分） （Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1； 则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；（4分） 计算， ， ， ， ， ， 得到的分布列如下： 15 14 13 12.5 11.5 10 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 （6分） 数学期望为 （元；（8分） （ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有片“一级”品， 由已知，解得，则取4或5； 故所求的概率为 ．（12分） 21．（12分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若存在成立，求整数的最小值． 【解答】解：（1）由题意可知，，， 方程对应的△， 当△，即时，当时，， 在上单调递减； （2分） 当时，方程的两根为， 且， 此时，在上，函数单调递增， 在上，函数单调递减；（4分） 当时，，， 此时当，单调递增， 当时，，单调递减； （6分） 综上：当时，，单调递增， 当时，单调递减； 当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递减； （7分） （2）原式等价于， 即存在，使成立． 设，， 则，（9分） 设， 则，在上单调递增． 又（3），（4）， 根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点， 设该零点为，则，且，即， （11分） 由题意可知，又，， 的最小值为5．（12分） （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线和直线的直角坐标方程； （2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值． 【解答】解：（1）由， 得曲线． 直线的极坐标方程展开为， 故的直角坐标方程为． （2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数）， 代入得，设，对应的参数为， 所以为定值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数． （1）若时，解不等式； （2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）若时，， 当时，原不等式可化为解得，所以， 当时，原不等式可化为得，所以， 当时，原不等式可化为解得，所以， 综上述：不等式的解集为； （2）当，时，由得， 即， 故得， 又由题意知：， 即， 故的范围为，． 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。