2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版）.doc

2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题 一、单选题 1．设集合,，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先对集合B化简,再求交集. 【详解】 解：， 所以, 故选:A. 【点睛】 本题考查了集合的化简以及交集运算,属于基础题． 2．已知,为第三象限角,则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知等式利用诱导公式化简求出的值,根据为第三象限角,利用同角三角函数间基本关系求出的值,即可确定出的值. 【详解】 解：, 即,为第三象限角, ， 则， 故选:A. 【点睛】 此题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题. 3．设等差数列的前项和为，若，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果. 【详解】 设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得； 因此. 故选B 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案． 【详解】 解：因为A的定义域为不关于原点对称,故不是偶函数,则A错误; 因为在单调递减,lnx在单调递增,由复合函数的性质可知,在单调递减,故B错; 函数是偶函数,且在单调递增,故C正确; 由的图象知在不单调,故D错. 故选:C. 【点睛】 本题考察了常见函数的基本性质,属于基础题. 5．函数的图象是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案． 【详解】 解：由,即 由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线的一部分, 考察四个选项,只有A选项符合题意. 故选:A. 【点睛】 本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题. 6．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值. 【详解】 由 ， 可得，进而可得 ， . 【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力. 7．己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论. 【详解】 解：由题意: 对任意,, 在上为减函数； 函数是偶函数 关于y轴对称； , , 故选:C. 【点睛】 本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题. 8．函数的图象可由的图象如何得到( ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系进行判断即可． 【详解】 解：， ， 即的图象可由的图象向右平移个单位得到， 故选:D. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象变换关系,利用诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键,属于基础题. 9．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移， 右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下： 结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意， 而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即 即可 故选B。 10．下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断. 【详解】 解：由,得的最大值为,故错误; “,”的否定是“”,故正确; 为锐角三角形,,则， 在上是增函数,,同理可得，,,故正确; ,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴, 可得函数在区间内单调递增; 若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得, , “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确． 其中错误的个数是1. 故选:A. 【点睛】 本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题． 11．设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为( ) A． B． C．3 D．8 【答案】C 【解析】本题为一元二次方程的实根分布问题,分别讨论和,根据一元二次函数的图象依次根据开口方向,对称轴,判别式,区间端点列出不等式组,得到满足的条件,所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域,数形结合解这个线性规划问题即可． 【详解】 解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点， 由题意可得：或， 即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍); 化简得, 在直角坐标系中作出满足不等式可行域, 可行域阴影部分如图所示, 设,则直线经过图中的可行域中的整点时, 取得最小值,即． 故选:C. 【点睛】 本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合,运用数形结合思想,是中档题. 12．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： 函数在上单调递减，在上单调递增； 点是函数图象的一个对称中心； 函数图象关于直线对称； 存在常数，使对一切实数x均成立， 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性,再由导数研究单调性判断正误; 找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误; 说明不恒成立,判断错误; 找出一个常数M,使对一切实数均成立即可. 【详解】 解：,,当时,, 在上单调递增,又， 是偶函数,因此在上为减函数,故正确; ,,,故点不是函数图象的一个对称中心,故错误； , ,若， 则恒成立即,不满足对任意恒成立,函数图象不关于直线对称,故错误； 取即可说明结论是正确的，故正确． 正确命题的个数是2． 故选:B. 【点睛】 本题考查三角函数的基本性质,考查函数的对称性与最值,训练了利用导数研究函数的单调性,是中档题. 二、填空题 13．已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______． 【答案】2 【解析】根据函数是幂函数列方程求得m的值， 再讨论是否满足是上的减函数． 【详解】 解：函数是幂函数, 则,即, 解得或; 当时,,函数是上的减函数,满足题意; 当时,,函数不是上的减函数,不满足题意; 所以的值为2． 故答案为:2． 【点睛】 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,属于基础题． 14．已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______． 【答案】2 【解析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案． 【详解】 解：因为在R上的奇函数,当时,，,, ; 所以答案为:2． 【点睛】 本题考查了函数的奇函数性质,属于基础题． 15．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围. 【详解】 由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值. ，当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. ，即函数在上的最小值为-1. 函数为直线， 当时，，显然不符合题意； 当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾； 当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意. 故实数m的取值范围是. 【点睛】 本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题. 16．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______． 【答案】1 【解析】本题先要根据题意画出图象,找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点,然后代入运算，即可得到结果． 【详解】 解：由题意画出图象如下： 根据题意,很明显,在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点． 则由在点D处,，而， 且， ． ． 故答案为:1． 【点睛】 本题主要考查数形结合法的具体应用,以及直线与曲线相切的概念,并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题． 17．命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可． 【详解】 解：命题为真命题，为假命题； 一真一假． 命题：实数a满足：的定义域为R； 则恒成立，即，； 故：; 命题：函数在上单调递减;； ,故：; 若真假，则，解得； 若假真，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】 本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题,考查了等价转化方法、复合命题的真假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 三、解答题 18．已知函数． 求在区间上的最大值和最小值； 若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． 由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求； 由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值． 【详解】 解： , ． ,, ,则，； 由,得, ． ． 【点睛】 本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题． 19．已知数列是递增的等差数列，，是方程的根． 求数列的通项公式； 求数列的前n项和． 【答案】（1）（2） 【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式； 求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：数列是递增的等差数列,设公差为,，是方程的根, 可得,, 则,, 解得,, 则; (2)由(1)得所以,则 则前n项和 ． 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式,数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于一般难度的题． 20．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． 求年利润万元关于年产量台的函数关系式； 当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 【答案】（1）（2）当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元 【解析】根据条件，利润为分段函数，分别表示即可； 分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可． 【详解】 解：设利润为y万元,由题得, 当时,; 当时,, 则; 由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元； 当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元， 综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元． 【点睛】 本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题． 21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 求A和B的大小； 若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值． 【答案】（1），（2） 【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小． 利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值． 【详解】 解：， 由正弦定理得：， ，， 可得，即; , , 由． 由余弦定理可得：， ， ． 如图所示: 设，, 在中由正弦定理,得, 由可知,, 所以:, 同理, 由于, 故，此时． 故的面积的最小值为． 【点睛】 本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．已知函数． 当时，求函数的最小值； 若时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最小值为1（2） 【解析】当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可． 若时,,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可． 【详解】 解:当时,函数的解析式为,则:, 时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减， 函数的最小值为：． 若时，，即 令，则； 令，则； 函数在区间上单调递增，． 若，则，即， 函数在区间上单调递增，． 式成立． 若，则． ． 故，使得． 则当时，． 即． 函数在区间上单调递减； ，即式不恒成立． 综上所述：实数a的取值范围是． 【点睛】 本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题． 第 19 页 共 19 页