2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（理）试题.doc

武昌区2020届高三年级元月调研考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，若，则 A． B. C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则 A． B. C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么 A． B. C．2 D．4 6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是 A． B. C． D． 7．已知数列的前项和，设，为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B. C． D． 8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为 A． B. C． D． A B E C D M A1 9．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题： ①线段的长是定值； ②存在某个位置，使； ③存在某个位置，使平面. 其中，正确的命题是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数的最小正周期为； ②直线为函数的一条对称轴； ③点为函数的一个对称中心； ④函数的图象向右平移个单位后得 到的图象. 其中正确说法的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆半径为r1，的内切圆半径为r2，则的值等于 A．3 B．2 C． D． 12．已知函数，的最小值分别为，，则 A． B． C． D．，的大小关系不确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，项的系数是______. 14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为______. 15．过动点作圆：的切线，为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为______. 16．用表示函数在闭区间上的最大值，若正数a满足，则a的值为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本题12分） 在中，已知，，是边上的一点，，. （1）求； （2）求的面积. 18．（本题12分） A1 C B A B1 D C1 E F 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 19．（本题12分） 已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆的方程； （2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 20．（本题12分） 0.00050 0.00075 0.00100 0.00125 1200 1000 800 600 400 200 0 金额（单位：元） 频率 组距 某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：0，200，200，400，400，600，…，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？ 健身达人 非健身达人 总计 男 10 女 30 总计 （3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折． 若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案． 附： P（） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 . 21．（本题12分） 已知函数. （1）若对恒成立，求实数a的值； （2）若存在不相等的实数，，满足，证明：. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分） 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为. （1）写出的普通方程和的直角坐标方程； （2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分） （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围； （2）若，，且，求证：． 武昌区2020届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D D D A C B C A A 二、填空题： 13. 240 14.，3，17 15. 16.或 三、解答题： 17．（本题12分） 在中，已知，，是边上的一点，，. （1）求； （2）求的面积. 解：（1）在中，由余弦定理，得， 所以，从而. 在中，由正弦定理，得，所以. ……………（4分）A B C D （2）由（1）知，且. 所以， ， 所以. ……………（12分） A1 C B A B1 D C1 E F G H 18．（本题12分） 解：（1）因为，，所以. 因为平面，平面，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 易证，因为， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. ……………（4分） （2）方法一：过作，垂足为，过作于，连结， 则可证为二面角的平面角. 在中，求得；在中，求得. 所以. ……………………………（12分） 方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦. 19．（本题12分） 解：（1）由及，得，. 所以，椭圆的方程为. ……………………………（4分） （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得 . 由，得. 设，，则，. 于是. 又，坐标原点到直线的距离为. 所以，的面积. 因为， 所以，. 当直线的斜率不存在时，设其方程为，同理可求得 . 所以，面积的最大值为. ……………………………（12分） 20．（本题12分） 解：（1）因为 （元）， 所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分） （2）列联表如下： 健身达人 非健身达人 总计 男 10 40 50 女 20 30 50 总计 30 70 100 … 因为，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分） （3）若选择方案一：则需付款900元； 若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000． ，， ，， 所以（元） 因为，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分） 21．（本题12分） 解：（1）令，则. 由题意，知对恒成立，等价. 当时，由知在上单调递增. 因为，所以不合题意； 当时，若，则，若，则， 所以，在单调递减，在上单调递增. 所以. 记，则. 易知在单调递增，在单调递减， 所以，即. 而， 所以，解得. ……………………………（6分） （2）因为，所以. 因为，，所以. 令，则. 记，则，所以在上单调递增. 又，由，得， 所以，即. ……………………………………（12分） 另证：不妨设，因为，所以为增函数. 要证，即要证，即要证. 因为，即要证. 记，则. 所以，从而，得证. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分） 解：（1）方程可化为. 方程可化为. ……………………（5分） （2）将代入，得. 设方程的两根分别为，，则 . ………………………………（10分） 23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分） 解：（1）方法一：因为， 因为存在实数，使成立，所以，解得. 方法二：当时，符合题意. 当时，因为所以. 因为存在实数，使成立，所以. 当时，同理可得. 综上，实数的取值范围为. ……………………………（5分） （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号. ……………………………（10分） 9第 页