2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（理）试题（解析版）.doc

2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出集合，再与集合求交, 【详解】 本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法． 因为， =， 所以． 故选：D 【点睛】 本题考查解二次不等式，考查集合的交集。属于基础题. 2．复平面内表示复数的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z的坐标得答案． 【详解】 因为， 所以复数所对应的复平面内的点为，位于第三象限． 故选：C. 【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题． 3．设两个单位向量的夹角为，则（ ） A．1 B． C． D．7 【答案】B 【解析】由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解. 【详解】 ， 即. 故选：B 【点睛】 本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题. 4．设有不同的直线a，b和不同的平面，，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可． 【详解】 对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误； 对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确； 对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立； 故选：B． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ） A．这14天中有7天空气质量优良 B．这14天中空气质量指数的中位数是103 C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好 D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日 【答案】B 【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案. 【详解】 这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确； 这14天中空气质量指数的中位数是，故选项B不正确； 从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C正确； 连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D正确． 故选：B 【点睛】 本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题. 6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 【答案】D 【解析】通过分析，排除即可． 【详解】 由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC错，D对． 故选：D． 【点睛】 本题考查简单的逻辑推理，属于基础题． 7．已知数列对于任意正整数m，n，有，若，则（ ） A．101 B．1 C．20 D．2020 【答案】A 【解析】由，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到答案. 【详解】 由，令 得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 从而．因为，所以，． 故选：A 【点睛】 本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题. 8．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题首先可根据得出，然后即可判断出函数是奇函数并排除B项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。 【详解】 因为，， 所以函数是奇函数，排除B， 因为函数的解析式为， 所以， , 在递增 又， 所以在恒成立 所以在递增，又 所以在恒成立 所以在为增函数，排除A、C， 综上所述，故选D。 【点睛】 本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。 9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足，Q是线段上一点，且，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件在，可得，则，由椭圆的定义有，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率. 【详解】 因为在中，，， 所以，又， 所以，从而，进而． 所以， 椭圆C的离心率为． 故选：A 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题. 10．函数的定义域为R，若与都是偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】C 【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f（x）的周期，然后利用所求结论直接判断即可． 【详解】 f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x＝1，x＝﹣1对称， 可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x）， ∴函数的周期T＝4， ∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），则f（x+3）为偶函数， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题． 11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种 【答案】C 【解析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部. 【详解】 将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部. 分两类考虑： 第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部， 此类分配方案种数为； 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部， 此类分配方案种数为． 故不同的分配方案共有1560种． 故选：C 【点睛】 本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题. 12．已知函数，下列结论中错误的是（ ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．的最大值为 D．是周期函数 【答案】C 【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可． 【详解】 对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确； 对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以的图像关于直线对称，所以B正确； 对于C，f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t， ，，，，所以的最大值是，从而的最大值是，故C错误； 对于D，因为，即f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题． 二、填空题 13．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________． 【答案】 【解析】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的对角线长，即， 则该球的体积 14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________． 【答案】y＝±2x 【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1⊥PF2，由三角形的中位线定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，运用点到直线的距离公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b＝2a，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2， 线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2， 且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0， 可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为b， 即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a， 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a， 即b＝2a， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x． 故答案为：y＝±2x． 【点睛】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题． 15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案. 【详解】 设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而，，，． 所以切线方程， 所以． 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题． 16．设等比数列满足，，则数列的前n项和为__________． 【答案】 【解析】先求出等比数列的通项公式为，然后分析求和. 【详解】 依题意，有解得所以数列的通项公式为． 设数列的前n项和为 则，(1) ．(2) 用(1)-(2)，得，(3) ．(4) 用(3)-(4)，得． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和.属于中档题. 三、解答题 17．已知的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，． (1)求a； (2)若的面积为9，求的周长． 【答案】（1）5；（2）. 【解析】(1)由，，两式相除，再用正弦定理得答案. (2)由（1）可求出，进一步可求出边，然后用余弦定理可计算出边，得出答案. 【详解】 (1)在中，，． 由正弦定理得． 又，所以，所以． 所以． (2)由(1)知，，所以． 因为的面积，所以． 由余弦定理得，所以． 所以的周长为． 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题． 18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱中，，，． (1)证明：三棱柱是堑堵； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】(1)根据条件由正弦定理可求，从而可证明，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】 (1)在中，，，， 由正弦定理得 ,即 , 因为在 中，则, ，所以， 即．又三棱柱为直三棱柱. 所以三棱柱是堑堵． (2)以点A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 于是，，． 设平面的一个法向量是， 则由得 所以可取． 又可取为平面的一个法向量， 所以． 所以二面角的余弦值为． 【点睛】 本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题. 19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1． (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】(1)根据条件有化简得答案. (2)有抛物线过交点的弦长公式有，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出代入，可计算出，得到直线方程. 【详解】 (1)设点是曲线C上任意一点， 那么点满足：． 化简得曲线C的方程为． (2)由题意得，直线的方程为， 设，． 由得． 因为，故， 所以． 由题设知，解得或． 因此直线的方程为或． 【点睛】 本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 20．已知函数，． (1)求证：在区间上无零点； (2)求证：有且仅有2个零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】(1)求出，再求出函数的单调区间，从而分析其图像与轴无交点即可. (2)显然是函数的零点,再分析在上和在上无零点,在上有一个零点，从而得证. 【详解】 (1)，． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 而，， 所以当时，， 所以在区间上无零点． (2)的定义域为． ①当时，，， 所以，从而在上无零点． ②当时，，从而是的一个零点． ③当时，由(1)知，所以，又， 所以，从而在上无零点． ④当时，，， 所以在上单调递减． 而，，从而在上有唯一零点． ⑤当时，，所以，从而在上无零点． 综上，有且仅有2个零点． 【点睛】 本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题． 21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)． (1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示； (2)求证：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）. 【解析】(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出.棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点,进行求解. (2) 由(1)知，，所以可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求，由（2）用累加法可求解. 【详解】 (1)棋子开始在第0站是必然事件，所以． 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以． 棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为． 故． (2)由(1)知，，所以． 又因为， 所以是首项为，公比为的等比数列． (3)由(2)知，． 所以 ． 所以玩该游戏获胜的概率为． 【点睛】 本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n项和公式．考查累加法求和，属于难题. 22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． (1)求C的普通方程和的直角坐标方程； (2)求C上的点到距离的最大值． 【答案】（1）C的普通方程为．的直角坐标方程为（2）3 【解析】（1）把曲线C的参数方程平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρcosθρsinθ+4＝0，可得直线l的直角坐标方程； （2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值． 【详解】 （1）由（t为参数），因为，且， 所以C的普通方程为． 由ρcosθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0． 即直线l的直角坐标方程为得xy+4＝0； （2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)． 则P到直线得xy+4＝0的距离为： C上的点到的距离为． 当时，取得最大值6，故C上的点到距离的最大值为3． 【点睛】 本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题． 23．已知a，b为正数，且满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可． 【详解】 已知a，b为正数，且满足a+b＝1， （1）（1）（1）＝11， （）（a+b）≥（）2＝8， 故； （2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0， ∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab， （a）（b）ab， 令t＝ab∈（0，]，y＝t递减， 所以， 故（a）（b）≥2． 【点睛】 考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题． 第 18 页 共 18 页