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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学文试题
Word版含答案
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武昌区2020届高三年级元月调研考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ,,则
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知是各项均为正数的等比数列,,,则
A. B. C. D.
4.已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
5.等腰直角三角形中,,,点是斜边上一点,且,则
A. B. C.2 D.4
6.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A. B. C. D.
7.已知数列中,,,设,则数列的前项和为
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,平面,,,则球O的表面积为
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左焦点为,点为其右支上任意一点,点的坐标为,
则周长的最小值为
A. B. C. D.
10.函数(,,)的部分图象如图所示,给出下列说法:
①直线为函数的一条对称轴;
②点为函数的一个对称中心;
③函数的图象向右平移个单位后得到
函数的图象.
其中,正确说法的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
11.已知直线与抛物线交于不同的两点,,直线,的斜率分别为,,且,则直线恒过定点
A. B. C. D.
12.已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数的最大值为______.
14.若直线:被圆:截得的线段最短,则实数的值为______.
15.已知一组数据10,5,4,2,2,2,,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍,则所有可能的取值为______.
A
B
E
C
D
M
A1
16.如图,已知平行四边形中,,,为边的中点,将 沿直线翻折成.若为线段的中点,则在翻折过程中,有下列三个命题:
①线段的长是定值;
②存在某个位置,使;
③存在某个位置,使平面.
其中正确的命题有______.
(填写所有正确命题的编号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本题12分)
在锐角中,角、、的对边分别为、、,且.
(1)求;
(2)若,求的面积的最大值.
18.(本题12分)
A1
C
B
A
B1
D
C1
E
F
如图,在直三棱柱中,,,,,分别为,,的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本题12分)
为了增强消防意识,某部门从男,女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分),这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示:
男 女
8 6 5 5 6 8 9
9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0
(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中,哪类职工的测试成绩更好?并说明理由;
(2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数,并填写下面列联表:
超过的人数
不超过的人数
男职工
女职工
(ⅱ)如果规定职工成绩不少于m定为优秀,根据(ⅰ)中的列联表,能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关?
附:.
P()
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20.(本题12分)
已知椭圆:的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称点为,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
21.(本题12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,,且至少存在两个零点,求的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)
在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若与轴交于点,与相交于、两点,求的值.
23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分)
(1)已知,若存在实数,使成立,求实数的取值范围;
(2)若,,且,求证:.
武昌区2020届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
C
D
C
C
B
二、填空题:
13. 14. 15. ,3,17 16. ①③
三、解答题:
解:(1)由正弦定理,知,
即,,,
所以. ………………………………………(4分)
(2)由余弦定理,知,即,
所以,当且仅当时取等号.
所以,所以. …………………………………(12分)
18.(本题12分)
解:(1)因为,,所以.
因为平面,平面,
A1
C
B
A
B1
D
C1
E
F
所以.
因为,所以平面.
因为平面,所以.
易证,因为,
所以平面. ……………(6分)
(2)取的中点,连结交于.
由(1)知平面,而,
所以平面.
连结,则为直线与平面所成的角.
在,求得.
又因为,所以. ……………(12分)
19.(本题12分)
解:(1)由茎叶图可知,男职工的成绩更好,理由如下:
①男职工的成绩的中位数为85.5分,女职工的成绩的 中位数为73.5分;
②男职工的成绩的的平均数髙于80分,女职工的成绩的平均数低于80分;
③男职工的成绩中,有的成绩不少于80分,女职工的成绩中,有的成绩至多79分;
④男职工的成绩分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;女职工的成绩的分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.
因此,男职工的成绩更好. ……………………(4分)
(注:以上给出了4种理由,考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分)
(2)(ⅰ)由茎叶图可知:,列表如下:
超过
不超过
男职工
15
5
女职工
5
15
……………(8分)
(ⅱ)由表中数据,计算,所以,有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………(12分)
20.(本题12分)
解:(1)由及,得,.
所以,椭圆的方程为. ……………(4分)
(2)设直线的方程为,代入椭圆方程,并整理,得
.由,得.
设,,则,.
因为,所以,于是,直线的方程为.
即,,
将,,,代入,
得,所以,直线过定点. ……………(12分)
另解:在中,令,得
.
所以,直线过定点. ……………(12分)
21.(本题12分)
解:(1)的定义域为,且.
令,得或.
当时,,在单调递减,在单调递增;
当时,在单调递减,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递减;
当时,在单调递减,在单调递增,在单调递减. (5分)
(2)由(1)知,或.
因为,所以不合题意.
因为时,在单调递减,在单调递增,在单调递减.
所以即
解得.
此时.
记,则.
因为,所以,所以在区间单调递减,
所以,解得.
所以,的取值范围为. ……………(12分)
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)
解:(1)方程可化为.
方程可化为. ……………(5分)
(2)将代入,得.
设方程的两根分别为,,则. ……10分)
23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分)
解:(1)方法一:因为,
因为存在实数,使成立,
所以,解得. ……………(5分)
方法二:当时,符合题意.
当时,因为所以.
因为存在实数,使成立,所以.
当时,同理可得.
综上,实数的取值范围为. ……………(5分)
(2)因为,
所以,
当且仅当或时取等号. ……………(10分)
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