2020届广东省佛山市高三教学质量检测（一）数学（理）科试题（解析版）.doc

2020年1月2日高中数学作业 一、单选题 1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数除法法则化简复数为代数形式，再根据复数几何意义确定选项. 【详解】 ，在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 【点睛】 本题考查复数除法法则即有复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先解一元二次不等式得集合A，解含绝对值不等式得集合B，再根据交集定义得结果. 【详解】 ，或，所以 故选：D 【点睛】 本题考查解一元二次不等式、解含绝对值不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 举反例说明A,B,D错误，再根据单调性证明C成立. 【详解】 当时； 当时； 当时； 因为函数在上单调递增，且，所以，即，即. 故选：C 【点睛】 本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题. 4．函数的图像向左平移一个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求与关于轴对称函数解析式，再根据向右平移一个单位长度得结果. 【详解】 将的图象关于轴对称，得，再将其向右平移一个单位长度，再将其向右平移一个单位长度，得. 故选：A 【点睛】 本题考查根据函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果. 【详解】 设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为 所以落在黑色区域的概率为. 故选：B 【点睛】 本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列通项公式，最后逐一验证得结果. 【详解】 ，∴，，∴，∴，，，，，，，令 ，则，当时，， 可知当时，取得最大值 故选：B 【点睛】 本题考查等比数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．已知为锐角，，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根据两角和正切公式求结果. 【详解】 ∵为锐角，，∴， 则， ∴. 故选：D 【点睛】 本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据双曲线性质得，再根据渐近线求得，即得双曲线的方程. 【详解】 由图可知，，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 【点睛】 本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ） A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升 C．10年来中国新增装机容量平均超过 D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 【答案】D 【解析】 【分析】 先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量 158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量 39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确. 故选：D 【点睛】 本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．已知函数，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先构造函数，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】 ∵， 所以函数关于点对称， ， ∴函数单调递增. 设，则为奇函数且单调递增， 由，得， ∴， ∴，， 解得或. 故选：B 【点睛】 本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题. 11．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确. 【详解】 ∵， ∴是奇函数，①正确； 的周期，，的周期，， ∵， 所以不是周期函数，②错误； 令，得， ∴，，或，， 解得，或， 又，或或，③正确； 当时，，， 当时，，， ∵， 即与不可能同时取得最大值1，故④错误. 故选：B 【点睛】 本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题. 12．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设,根据勾股定理得,即得面积函数关系式,再根据导数求其单调性,最后根据单调性球最值. 【详解】 如图，不妨取点为点，设，，， 不妨设，则， 即，整理得：， ∴，又∵，所以， 解得.设的面积为， 则， 设，，则， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以， ∴， ∴. 故选：C 【点睛】 本题考查利用函数单调性求最值以及列函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题. 二、填空题 13．从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 分三步：第一步，一等奖有种可能的结果；第二步，二等奖有种可能的结果；第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果. 【考点定位】组合问题 14．在中，，，是边的垂直平分线上一点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 取中点，利用垂直关系转化所求数量积为，再利用基底表示得结果. 【详解】 取中点，连接，则，， 所以 . 故答案为： 【点睛】 本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同，则这条切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据导数几何意义列方程组，消得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】 ， 设切点的横坐标为，则根据题意可得， 得，， 设，则单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点为，切线斜率，切线方程为. 故答案为： 【点睛】 本题考查导数几何意义以及利用导数求方程的解，考查综合分析求解能力，属中档题. 16．在平面直角坐标系中，对曲线上任意一点，到直线的距离与该点到点的距离之和等于2，则曲线与轴的交点坐标是______；设点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据条件列方程，再令解得与轴的交点坐标；根据绝对值定义化简讨论方程，再根据抛物线定义求最值. 【详解】 设，则根据题意可得， 令，得，， 所以曲线与轴的交点坐标是， 当时，，得：， 即点到点的距离与点到直线的距离相等， 所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 如图（1），， 当时，，得， 即点到点的距离与点到直线的距离相等， 所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 如图（2），， 综上可知，的最小值为. 故答案为： 【点睛】 本题考查轨迹方程以及利用抛物线定义求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题 17．绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立. （1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【答案】（1）多10000元；（2）定价为13元 【解析】 【分析】 （1）先根据概率分布求数学期望，再比较两个期望大小得结果； （2）先根据概率分布求数学期望函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】 （1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为： 15 －5 0.3 0.7 元，则500个游客的平均利润为5000元； 当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为0.2， 设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为： 5 －5 0.8 0.2 元，则500个游客的平均利润为15000元； 该项目每天的平均利润比调整前多10000元. （2）设降价元，则，照片被带走的可能性为， 不被带走的可能性为， 设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为： －5 ， 当时，有最大值3.45元， 即当定价为13元时，日平均利润为17250元. 【点睛】 本题考查概率分布、数学期望以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．在中，内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）是线段上的点，若，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）先由正弦定理，化边为角，解得； （2）设，则，，利用正弦定理得，解得，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】 （1）由正弦定理，得. 则有，化简得：. 即，∵，则. （2）设，， 由题意得：，，，. 在中，，则. ∴，得. 结合，可得，. 则. ∴. 解法二：如图，在线段上取点，使得，连接，则， 在中，，即，， 在中，，即，， 而，由∴，∴. 此时，， ， . 解法三：由，得，整理得①， 又由余弦定理可得②， ①－②，得：，，∴. ∴. 【点睛】 本题考查正弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度. 【答案】（1）；（2）4或 【解析】 【分析】 （1）先根据离心率以及点在椭圆上，列方程组解得结果； （2）先求直线的方程，再求点坐标，根据得点坐标，代入的方程，解得，最后代入点坐标，求得结果. 【详解】 （1）由题意得，，结合， 解得，，， 故所求椭圆的方程为. （2）易知定直线的方程为. 联立，整理得，解得， 无妨令点的坐标为. ∵，由对称性可知，点为的中点， 故， 又在直线：上， 故， 解得，， 故点的坐标为或， 所以或， 所以的长度为4或. 【点睛】 本题考查椭圆方程以及椭圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．如图，三棱锥中，平面平面，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心. （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据三角形重心性质可得，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，平面，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果； （2）先根据面面垂直性质定理得平面，确定与平面所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角. 【详解】 （1）连接，连接并延长交于点，则点为的中点， 从而点，，分别是棱，，的中点， ∴，. 又，平面，，平面， ∴平面，平面. 又，平面，， ∴平面平面， 又平面， ∴平面. （2）连接，∵，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面， 平面，平面. 连接并延长交于点，则为的中点， 连接，则，∴平面. ∴为与平面所成的角，即. 在中，设，则，，∴，. ∴，，， ∴，即， 如图建立空间直角坐标系， 则，，. ∴，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 又平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题. 21．已知函数，. （1）求的最小值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值； （2）先构造函数，再求导数，转化研究，利用导数可得，最后利用放缩得单调递增，根据单调性证得结果. 【详解】 （1），令，得， 故在区间上，的唯一零点是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在区间上，的极小值为， 当时，， 所以，的最小值为. （2）要证：时，，即证时，. ， 令，则，即是上的增函数， ∴，即， ∴ ， ∴. 即是上的增函数，， 故当时，. 【点睛】 本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属较难题. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. （1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：. 【答案】（1），开口向右，焦点为的抛物线；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据代入消元法得曲线的普通方程，根据方程特征确定曲线形状； （2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得，同理可得，最后根据倾斜角关系证结论. 【详解】 由，得，代入，得，即， ∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线. （2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则直线的参数方程为（为参数）， 与联立得， 设方程的两个解为，，则， ∴， 则， ∴. 【点睛】 本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 23．已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时，函数的值域为，求的值. 【答案】（1）；（2）1或2. 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果； （2）先根据与大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数. 【详解】 （1），得， 即，∴的取值范围是; （2）当时，函数在区间上单调递增， 则，得，，得， 当时，， 则，得， ，得. 综上所述，的值为1或2. 【点睛】 本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题. 试卷第23页，总23页