理数8答案.docx

周测8答案 一、选择题CABCC DBBDB BB 12、[解析] 不妨设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中0<x1<1<x2. 由l1，l2分别是点P1，P2处的切线，且f′(x)＝ 得l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝. 又l1与l2垂直，且0<x1<x2，所以k1·k2＝－·＝－1⇒x1·x2＝1， l1：y＝－(x－x1)－ln x1①，l2：y＝(x－x2)＋ln x2②， 则点A的坐标为(0，1－ln x1)，点B的坐标为(0，－1＋ln x2)， 由此可得|AB|＝2－ln x1－ln x2＝2－ln(x1·x2)＝2. 联立①②两式可解得交点P的横坐标xP＝＝， 所以S△PAB＝|AB|·|xP|＝×2×＝≤1，当且仅当x1＝，即x1＝1时，等号成立． 而0<x1<1，所以0<S△PAB<1，故选A. 二、填空 3；.；；(2，8)　 16、[解析] 由已知得a＝1，b＝，c＝2.当∠F1F2P＝时，|PF2|＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝8；当∠F1PF2＝时，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则而(m－n)2＝4＝m2＋n2－2mn＝16－2mn，所以mn＝6，则(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝28，则m＋n＝2.又△F1PF2为锐角三角形，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)． 三.解答题 17. 解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数． 又，故…………………………………………2分 于是，解得，…………………4分 因此，故数列的通项公式为．…………………6分 （2），…………………8分 于是 ………………………………12分 18.（1）证明：取的中点，连接，则， 又，所以，………………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分 又因为面 所以平面……………………………………………………………………5分 （2）又平面， ∴平面，∴. 由即及为的中点，可得为等边三角形， ∴，又，∴，∴， ∴平面平面， ∴平面平面.………………………………………………………………6分 ，∴为直线与所成的角， 由（1）可得，∴，∴， 设，则， 取的中点，连接，过作的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，………………………………………………………………… 所以， 设为平面的法向量，则，即， 取，则为平面的一个法向量， ∵， 则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分 19.（1）因为，. 回归直线必过样本中心点，则.……………2分 故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24.………………………………………………………4分 （2）因为，，，， 所以，……………………6分 ，即，，，. ，，均不超过10%， 因此使用位置最接近的已有旧井.……………………………………………8分 （3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， 所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4， ，，. X 2 3 4 P ……………………………………………………12分 20.试题解析：（Ⅰ）的方程为 其准线方程为．…………4分 （Ⅱ）设，，， 则切线的方程：，即，又， 所以，……………………………………………………………6分 同理切线的方程为， 又和都过点，所以， 所以直线的方程为. ………………………………………………8分 联立得，所以。 所以． 点到直线的距离． 所以的面积………………10分 所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.……………12分 21．解（1）由， 得………………………………2分 令，得，或. 所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，.……………………………………………………5分 （2）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减， 所以，函数无极值.……………………………………………………………6分 ②当时，，的变化情况如下表： 所以，时，的极小值为. 又时，， 所以，当时，恒成立. 所以，为的最小值. 故是函数存在最小值的充分条件.………………………………10分 ③当时，，的变化情况如下表： 因为当时，， 又， 所以，当时，函数也存在最小值. 所以，不是函数存在最小值的必要条件. 综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.……………………12分 22．解： （1）由消去参数t，得，[来源:Z_xx_k.Com] 所以圆C的普通方程为．……………………………………2分 由，得，换成直角坐标系为， 所以直线l的直角坐标方程为……………………………5分 （2）化为直角坐标为在直线l上， 并且，设P点的坐标为， 则P点到直线l的距离为，…8分 ，所经面积的最小值是…………………10分 23.解：试题解析：（Ⅰ）由得 .……………………………………………5分 （Ⅱ）∵的值域为，∴对任意的，都有，使得成立，…………………………………………………………7分 ∵≥ 所以实数的取值范围是.…………………………………………10分 附加 1、解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行． 延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC＝ED， 所以四边形BCDE是平行四边形， 从而CM∥EB. 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE， 所以CM∥平面PBE.--------------------------------------5分 (说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)方法一：易知PA⊥平面ABCD.由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD， 所以∠PDA是二面角P ­ CD ­ A的平面角， 所以∠PDA＝45°. 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2. 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CE， 于是CE⊥平面PAH， 所以平面PCE⊥平面PAH. 过A作AQ⊥PH于点Q，则AQ⊥平面PCE， 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角． 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1， 所以AH＝. 在Rt△PAH中，PH＝＝， 所以sin∠APH＝＝.---------------------12分 方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD， 于是CD⊥PD，从而∠PDA是二面角P ­ CD ­ A的平面角， 所以∠PDA＝45°. 由PA⊥AB，PA⊥CD，可得PA⊥平面ABCD. 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2. 作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)， 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)． 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)， 由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1)． 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sin α＝＝＝， 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.------12分 2、试题解析：（Ⅰ）易知函数的定义域是， ①当时，即时, 令,解得或； 令,解得 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减 ②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； ③当时，即时, 令,解得或； 令,解得． 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减 综上所述， ⑴当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减； ⑵当时, 函数在上单调递增； ⑶当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减--6分 （Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”． 设,是曲线上的不同两点，且， 则 曲线在点处的切线斜率 ， 依题意得：． 化简可得：，即． 设（），上式化为：, 即． 令,． 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立． 所以在内不存在,使得成立．-------12分