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江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试数学试题
Word版含解析
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江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试
数学试题
2019.11
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知集合A=,B=[0,),则AB= .
答案:{1}
考点:集合的交集运算
解析:∵集合A=,∴集合A={﹣1,1}
∵B=[0,),∴AB={1}.
2.已知角的始边为x轴的正半轴,点P(1,2)是其终边上一点,则cos的值为 .
答案:
考点:三角函数的定义
解析:cos .
3.“m>1”是“m>2”的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一).
答案:必要不充分
考点:充分条件、必要条件以及充要条件的判断
解析:∵“m>2”能推出“m>1”,但是“m>1”推不出“m>2”
∴“m>1”是“m>2”的必要不充分条件.
4.若向量=(l,m),=(3,2),∥,则实数m的值为 .
答案:
考点:平行(共线)向量坐标运算
解析:∵量=(l,m),=(3,2),∥,
∴1×2﹣3m=0,求得m=.
5.函数的定义域为 .
答案:[2,)
考点:函数的定义域
解析:∵
∴,解得x≥2,故函数的定义域为[2,).
6.若函数为奇函数,当x>0时,,则的值为 .
答案:﹣3
考点:奇函数的性质
解析:∵函数为奇函数,
∴.
7.设为等差数列的前n项和,若,且公差d≠0,则的值为 .
答案:
考点:等差数列及其前n项和
解析:∵为等差数列的前n项和,且,
∴,即,故.
8.若sin(+)=﹣,则cos2的值为 .
答案:
考点:诱导公式,倍角公式
解析:∵sin(+)=﹣,∴
∴cos2.
9.若函数的图象关于直线x=a对称,则的最小值是 .
答案:
考点:三角函数的图像与性质
解析:,其对称轴为,当k=﹣1时, 最小为.
10.若函数在(﹣1,)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
答案:[0,1]
考点:函数的单调性
解析:由题意得:
或解得a=0或0<a≤1,即0≤a≤1,
故实数a的取值范围是[0,1].
11.若数列满足,=2,则数列是等比数列,则数列的前19项和的值为 .
答案:1534
考点:等比数列的定义及前n项和
解析:由题意知,,则数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
则,,
则,故,
,
∴.
12.如图,在△ABC中,AB=,AC=,,,,,若MN⊥BC,则cosA的值为 .
答案:
考点:平面向量数量积
解析:,,因为MN⊥BC,
所以,即,
化简得:,又AB=,AC=,
计算得=1,则cosA=.
13.在△ABC中,AC=1,AB=,D为BC的中点,∠CAD=2∠BAD,则BC的长为 .
答案:
考点:解三角形(面积法与余弦定理)
解析:因为D为BC的中点,所以S△ACD=S△ABD,
故,
因为sin∠CAD=sin2∠BAD=2sin∠BADcos∠BAD,AC=1,AB=代入上式,
得cos∠BAD=,∵0<∠BAD<π,故∠BAD=,∠BAC=,
.
14.设函数,若对任意的实数a,总存在[0,2],使得,则实数m的取值范围是 .
答案:(,]
考点:函数与不等式(讨论最值解决恒成立、存在性问题)
解析:令,,
故在[0,1]单调递减,在[1,2]单调递增,
求得,,,
当时,的最大值为,
故恒成立,;
当时,的最大值为,
故恒成立,.
综上所述,对任意的实数a,总存在[0,2],使得,则实数m的取值范围是,即(,].
二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
若函数(>0,0<<)的图象经过点(0,),且相邻的两个零点差的绝对值为6.
(1)求函数的解析式;
(2)若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,当[﹣1,5]时,求的值域.
解:(1) 相邻的两个零点差的绝对值为6,
记的周期为,则,
又,. ...............................................................................2分
;
的图象经过点,
,, ..................................................4分
函数的解析式为..................................................6分
(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,
由(1)得,,
函数的解析式为;.............10分
当时,,则.
综上,当时,的值域为...................................14分
16.(本题满分14分)
设p:“,”;q:“在区间[﹣1,1]上有零点”.
(1)若p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若pq为真命题,且pq为假命题,求实数a的取值范围.
解:(1) 为真命题,则,;........................... 4分
(2) 为真命题,为假命题,
则一真一假......................................6分
若为真命题,则在在有解,
又的值域为,...........................8分
① 真假,
则..............................10分
② 假真, 则无解......................................12分
综上,实数a的取值范围是................................14分
17.(本题满分14分)
如图所示是某社区公园的平面图,ABCD为矩形,AB=200米,BC=100米,为了便于居民观赏花草,现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE,DE,EF,BF,CF,道路的宽度忽略不计,考虑对称美,要求直线EF垂直平分边AD,且线段EF的中点是矩形的中心,求这5条路总长度的最小值.
解:(法一)设,过作于,
垂直平分,(米),
(米),(米),
又的中点是矩形的中心,
(米),
记这5条路总长度为(米),
则,..................................6分
即,
,.................................8分
化简得,由,可得,.........................10分
列表如下:
↘
↗
由上表可知,当时,取最小值 (米) ..................13分
答:5条道路的总长度的最小值为(米)............................14分
(法二)过作于,设(米)( )
因垂直平分,故(米),
又的中点是矩形的中心,(米);
在中,(米),
由对称性可得,(米);
记这5条路总长度为(米),
................................6分
...............................8分
令解得(负值舍)..............................10分
列表如下:
↘
↗
由上表可知,当时,取最小值............................13分
答:5条道路的总长度的最小值为米............................14分
(法三)同方法二得到,以下可用判别式法.
18.(本题满分16分)
如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,点D为△ABC内一点,满足BD=CD=2,且.
(1)求的值;
(2)求边BC的长.
解:(1)设,,,
由,
所以,即,............................2分
又为三角形的内角,所以,..............................4分
在中,,所以,.......................6分
同理,.................................8分
所以,................................10分
(2)在中,,......................12分
同理,.................................14分
由(1)可得,解得................................16分
19.(本题满分16分)
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次拓展.如数列1,2,经过第1次拓展得到数列1,3,2;经过第2次拓展得到数列1,4,3,5,2;设数列a,b,c经过第n次拓展后所得数列的项数记为,所有项的和记为.
(1)求P1,P2,P3;
(2)若≥2019,求n的最小值;
(3)是否存在实数a,b,c使得数列为等比数列,若存在,求a,b,c满足的条件;若不存在,请说明理由.
解:(1)因原数列有3项,经第1次拓展后的项数;
经第2次拓展后的项数;
经第3次拓展后的项数...............................3分
(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项,
由数列经第次拓展后的项数为,则经第次拓展后增加的项数为,
所以,..............................5分
所以,
由(1)知,所以,,.....................7分
由,即,解得,
所以的最小值为10.................................8分
(3)设第次拓展后数列的各项为,
所以,
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和,
所以,
即,所以,........................12分
得,,,
因为数列为等比数列,所以,可得,.............................14分
则,由得,
反之,当且时,,,,所以数列为等比数列,
综上,满足的条件为且..........................16分
20.(本题满分16分)
设函数,为常数.
(1)当a=0时,求函数的图象在点P(0,)处的切线方程;
(2)若函数有两个不同的零点,,①当时,求的最小值;②当=1时,求的值.
解:(1)当时,,,,,
故所求切线的方程为,即......................2分
(2)①,令,则,
当时恒成立,故在上递减,
令得,故在上递增,又,,的图象在上连续不间断,所以存在唯一实数使得,...............4分
故时,时,所以在上递减,在上递增,
∴,由得,
∴,........................6分
因为函数有两个不同的零点,,所以,得,
由易得,故整数,
当时,,满足题意,
故整数的最小值为.(也可以用零点存在性定理给出证明)................10分
注:由得,不能得到.
②法一:当时,,由得,,
两式相乘得,
得(※).......................12分
不妨设,由及的单调性可知,..........14分
故,
当时(※)式成立;
当时(※)式左边大于1,右边小于1,(※)式不成立;
当时(※)式左边小于1,右边大于1,(※)式不成立;
综上,...............16分
法二:当时,,
不妨设,由及的单调性可知,.............12分
由得,
∴,.............14分
故函数有两个不同的零点,,又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点,,
∴,∴..............................16分
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