2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学（理）试题（解析版）.doc

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三5月模拟 数学理试题 2019．5 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A＝，B＝，则AB＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵A＝ ∴A＝{﹣1，0，1} ∵B＝ ∴AB＝{0，1} 2．已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虛部相等，则实数a的值为 ． 答案：﹣3 考点：复数的运算 解析：z＝(1＋2i)(a＋i)＝a﹣2＋(2a＋1)i 由z的实部与虛部相等得：a﹣2＝2a＋1，解得a的值为﹣3． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ． 答案：18 考点：系统抽样方法 解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18． 4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ． 答案： 考点：古典概型 解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2种情况，所以P＝＝． 5．函数的定义域为 ． 答案：[0，1) 考点：函数的定义域 解析：由题意得：，解得0≤x＜1，所以函数的定义域为[0，1)． 6．下图是一个算法流程图，则输出的k的值为 ． 答案：3 考点：算法初步 解析：n取值由13→6→3→1，与之对应的k为0→1→2→3，所以当n取1时，k是3． 7．若正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为 ． 答案： 考点：棱锥的体积 解析：由于AA1∥平面BCC1B1，所以点P到平面BCC1B1的距离就是点A1到平面BCC1B1的距离为，所以VP—BCC1B1＝＝． 8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线为，则实数b的值为 ． 答案：﹣13 考点：函数的切线 解析：∵ ∴ ∵曲线C在点P处的切线为 ∴ ∵P在第四象限 ∴x＝2，求得y＝﹣9 ∴b＝﹣9﹣2×2＝﹣13 9．已知函数(0＜＜)是定义在R上的奇函数，则的值为 ． 答案： 考点：三角函数的图像与性质 解析： ∵是定义在R上的奇函数 ∴，Z，由0＜＜求得 ∴，则 10．如果函数(m，nR且m≥2，n≥0)在区间[，2]上单调递减，那么mn的最大值为 ． 答案：18 考点：二次函数的性质 解析：当m＝2时，，要使在区间[，2]上单调递减，则n＜8，此时mn＝2n无最大值，不符题意，舍去 当m＞2时，是开口向上的抛物线，对称轴为x＝，要使在区间[，2]上单调递减，则2≤，即0≤n≤12﹣2m，所以mn≤m(12﹣2m)＝2m(6﹣m)≤＝18，当且仅当m＝3取“＝”，所以mn的最大值为18． 11．已知椭圆与双曲线(a＞0，b＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为 ． 答案： 考点：圆锥曲线的定义、性质 解析：由题意得：F1P＝F1F2＝2，则PF2＝，所以2a＝2﹣()＝4﹣，则a＝2﹣，所以e＝＝． 12．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：上位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为，则点B的坐标为 ． 答案：(6，3) 考点：直线与圆 解析：设点B(，)，则AB，求得点A到直线l的距离为，又因为弦长为，所以AB＝，由＝求得 ，因为点B位于第一象限，所以＝6（负值已舍去），故点B的坐标为(6，3)． 13．已知数列的前n项和为，，，，则满足2019≤≤3000的正整数m的所有取值为 ． 答案：20，21 考点：等差数列、等比数列前n项和 解析：当m为奇数时，，显然是单调递增的，又，，，所以m取21符合题意；当m为偶数时，，又，，，所以m取20符合题意．综上所述，正整数m的所有取值为20，21． 14．已知等边三角形ABC的边长为2，，点N、T分别为线段BC、CA上的动点，则取值的集合为 ． 答案：{﹣6} 考点：平面向量的坐标运算 解析：建立如图所示的平面直角坐标系 则A(0，)，B(﹣1，0)，C(1，0) 由得M(，)，设N(n，0)，直线AC为：，设T(t，) 所以， ， 则． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是． （1）求cos(﹣)的值； （2）若以x轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为，求＋的值． 解析：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝. 从而cos α＝＝.(3分) (1) cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－， 所以cos β＝－，从而sin β＝＝.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分) 从而α＋β＝.(14分) 16．（本小题满分14分） 如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝l，M是线段EF的中点． （1）求证：AM∥平面BDE； （2）求证：AM⊥平面BDF． 解析：证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE， ∵ 四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC. ∵ O是正方形ABCD对角线的交点，[来源:学。科。网] ∴ O是AC的中点． 又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO. ∴ 四边形AOEM是平行四边形， ∴ AM∥OE.(4分) ∵ OE平面BDE，AM平面BDE， ∴ AM∥平面BDE.(7分) (2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC. ∵ 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD平面ABCD， ∴ BD⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分) ∵ 正方形ABCD，AD＝，∴ OA＝1. 由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形． ∵ AF＝1，∴ 四边形AOMF是正方形，(11分) ∴ AM⊥OF.(12分) 又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD平面BDF， ∴ AM⊥平面BDF.(14分) 17．（本小题满分14分） 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2．（上述图形均视作在同一平面内） （1）记四边形COPQ的周长为，求的表达式； （2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin的值． 解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)． 在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得 PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ， 所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝20cos θ.(4分) 所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋20cos θ， 即f(θ)＝40＋20cos θ，θ∈(0，)．(7分) (没写定义域，扣2分) (2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则 S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分) 所以S′(θ)＝100(－sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－sin θ＋2)，θ∈(0，)．(12分) 令S′(t)＝0，得sin θ＝. 列表： sin θ (0，) (，1) S′(θ) ＋ 0 － S(θ) 增 最大值 减 答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为.(14分) 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝﹣4和直线x＝﹣1相交于点M、N．试判断是否为定值，并说明理由． 解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分) (2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交， 所以直线l一定存在斜率．(6分) ② 设直线l：y＝kx＋m， 由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k2＋3)×4(m2－3)＝0， 得4k2＋3－m2＝0　①.(8分) 把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)， 把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分) 所以NF1＝|－k＋m|， MF1＝＝　②，(12分) 由①式，得3＝m2－4k2　③， 把③式代入②式，得MF1＝＝2|－k＋m|， ∴ ＝＝，即为定值.(16分) 19．（本小题满分16分） 已知数列满足()，数列的前n项和()，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，记是数列的前n项和，求正整数m，使得对于任意的均有≥． 解析：解：(1) ① a1＝2＝2；(2分) ② 当n≥2时，an＝＝＝2n. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(4分) (2) 由Sn＝，得2Sn＝n(b1＋bn)　①， 所以2Sn－1＝(n－1)(b1＋bn－1)(n≥2)　②. 由②－①，得2bn＝b1＋nbn－(n－1)bn－1，n≥2， 即b1＋(n－2)bn－(n－1)bn－1＝0(n≥2)　③， 所以b1＋(n－3)bn－(n－2)bn－1＝0(n≥3)　④. 由④－③，得(n－2)bn－2(n－2)bn－1＋(n－2)bn－2＝0，n≥3，(6分) 因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以(n－2)，得 bn－2bn－1＋bn－2＝0，n≥3， 即bn＋1－bn＝bn－bn－1＝…＝b2－b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列， 故bn＝n，n∈N*.(8分) (3) 因为cn＝－＝－＝[－1]，(10分) 所以c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，c5<0. 记f(n)＝， 当n≥5时，f(n＋1)－f(n)＝－＝－<0， 所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n)<f(5)<<1. 从而，当n≥5时，cn＝[－1]<0.(14分) 因此T1<T2<T3<T4，T4>T5>T6>… 所以对任意的n∈N*，T4≥Tn. 综上，m＝4.(16分) (注：其他解法酌情给分) 20．（本小题满分16分） 设a为实数，已知函数，． （1）当a＜0时，求函数的单调区间； （2）设b为实数，若不等式对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立，求b的取值范围； （3）若函数(x＞0，R)有两个相异的零点，求a的取值范围． 解析：解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)>0； 当x>－1时，f′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分) (2) 由f(x)≥2x2＋bx，得axex≥2x2＋bx，由于x>0， 所以aex≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立． 由于ex>0，所以aex≥ex，所以ex－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分) 设φ(x)＝ex－2x，x>0，则φ′(x)＝ex－2， 所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2， 所以b≤2－2ln 2.(6分) (3) 由h(x)＝axex＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)ex＋1＋＝，其中x>0. ① 若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分) ② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xex＝－>0. 由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝ex－2x≥2－2ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以当x>0时，函数xex的值域为(0，＋∞)． 所以存在x0>0，使得ax0ex0＋1＝0，即ax0ex0＝－1　①， 且当x<x0时，h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减． 因为函数有两个零点x1，x2， 所以h(x)max＝h(x0)＝ax0ex0＋x0＋ln x0＝－1＋x0＋ln x0>0　②. 设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x0>1. 又由①式，得x0ex0＝－. 由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－>e， 即a∈(－，0)．(11分) 当a∈(－，0)时， (i) 由于h()＝＋(－1)<0，所以h()·h(x0)<0. 因为<1<x0，且函数h(x)在(0，x0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x0)上不间断， 所以函数h(x)在(0，x0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－)＝－e－－＋ln(－)，令t＝－>e， 设F(t)＝－et＋t＋ln t，t>e， 由于t>e时，ln t<t，et>2t，所以设F(t)<0，即h(－)<0. 由①式，得当x0>1时，－＝x0ex0>x0，且h(－)·h(x0)<0， 同理可得函数h(x)在(x0，＋∞)上也恰有一个零点． 综上，a∈(－，0)．(16分) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝. (1) 求矩阵B； (2) 求矩阵B的特征值． 解析：解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B＝A－1＝.(5分) (2) 矩阵B的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B的特征值为1或－1.(10分) B. (选修44：坐标系与参数方程) 设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋)＝1相切，求a的值． 解析：解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x2＋y2＝2ay，整理得x2＋(y－a)2＝a2.(3分) 将直线ρcos(θ＋)＝1化成普通方程为x－y－＝0.(6分) 因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝a，(9分) 解得a＝2＋.(10分) C. (选修45：不等式选讲) 求函数y＝＋的最大值． 解析：解：因为(＋)2＝(·＋·)2 ≤(3－3x＋3x＋2)(＋1)＝，(3分) 所以y＝＋≤.(5分) 当且仅当＝，即x＝∈[－，1]时等号成立．(8分) 所以y的最大值为.(10分) 【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点． (1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值； (2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值． 解析：解：(1) 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． 因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)． 所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，(2分) 所以cos〈，〉＝＝＝，(4分) 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(5分) (2) 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)， ＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)． 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则即 令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．(7分) 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1.(10分) 23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)． (1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式． 解析：解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分) (2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m＝0，1，2，……，[](其中[]为不超过的最大整数)， 总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n－m步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C·C·2n－2m， 14第 页