2020
辽宁省
葫芦岛市
普通高中
上学
学业
质量
监测
期末
数学
试题
学 校
姓 名
考 号
………………………………………………装…………订…………线………………………………………………
葫芦岛市普通高中2019~2020学年第一学期学业质量监测考试
高三数学(供理科考生使用)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共6页.满分150分;考试时间:120分钟.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.
3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.
4.考试结束,将答题卡和答题纸一并交回.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1. A={x|x-1>0},B={x|x2-x-6£0},则A∩B=
A.[-2,1) B.[-2,3] C. (1,3] D.[1,3)
2.已知i是虚数单位,复数 =
A.i-2 B.i+2 C.-2 D.2
3.在等比数列{an}中,a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根,则a5=
A.1 B. ±1 C. D.±
4. 已知 a,b均为单位向量,则|a-2b|=|2a+b|是a^b的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下,学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划,又能发挥学科优势,进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后,学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式,其中“3”是指语、数、外三科必学内容,“1”是指在物理和历史中选择一科学习,“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况,学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查,依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图:根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论是不正确的
A.样本中的女生数量多于男生数量
B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱物理
D.样本中的女生偏爱历史
等高堆积条形图2
等高堆积条形图1
O
y
x
O
y
x
y
x
O
y
x
O
6. 函数f(x)=的图像大致为
A. B. C. D.
7. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,B=30°,a+c=2b,△ABC的面积为,则b=
A. B. C. D.
8. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+¥)单调递增,求a的取值范围
A.a£2 B.a<2 C. a£-2 D. a<-2
高三数学(理)试卷 第2页 (共6页)
高三数学(理)试卷 第1页 (共6页)
9. 若<a<b<1,0<c<1,则下列不等式不成立的是
A. logac<logbc B. alogbc<blogac C. abc<bac D. ac<bc
10. 已知角a,bÎ(0,p),tan(a+b) = ,cosb = ,则角2a+b =
A. B. C. D.
11. 如图所示,已知球O为棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球,
则平面ACD1截球O的截面面积为
A. B.3p
C. D.3
12. 设函数 f (x)=-x(x-a)2(xÎR),当a>3时,不等式f (-k-sinq -1)³ f (k2-sin2q )对
任意的kÎ[-1,0]恒成立,则q 的可能取值是
A.- B. C.- D.
第Ⅱ卷(选择题,共90分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,第15题为两空题,第一空2分,第二空3分。)
13. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为________.
1
1
1
侧(左)视图
正(主)视图
俯视图
14. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,是算经十书之一,书中不仅记载了“天圆如张盖,地方如棋局”一说,更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.具体做法如下:现有“外圆内方”的钱币(如图),测得钱币“外圆”半径(即圆的半径)为2 cm,“内方”(即钱币中间的正方形孔)的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率π的近似值为 .
15. (1+ax2)(x-3)5的展开式中x7系数为2,则a的值为______, x5的系数为______.
16. 已知双曲线C:- =1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0),且直线y= -2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1,则双曲线C的方程为 ____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. (本小题满分12分)
P
A
B
C
D
E
如图,在四棱锥中,侧面是等边三角形,
且平面平面,为的中点,,,
.
(1)求证:平面;
(2)求二面角P-AC-E的余弦值.
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}其前n项和Sn满足:Sn=2-(n+1)an+1(n∈N*), a1=0.
(1)求数列{ an}的通项公式;
(2)当n=1时,c1=1,当n³2且n∈N*时,设cn= ,求{cn}的前n项和Tn.
高三数学(理)试卷 第4页 (共6页)
高三数学(理)试卷 第3页 (共6页)
19. (本小题满分12分)
冬季历来是交通事故多发期,面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战. 全国公安交管部门要认清形势、正视问题,针对近期事故暴露出来的问题,强薄弱、补短板、堵漏洞,进一步推动五大行动,巩固扩大五大行动成果,全力确保冬季交通安全形势稳定. 据此,某网站推出了关于交通道路安全情况的调查,通过调查年龄在[15,65)的人群,数据表明,交通道路安全仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人,并将这100人按年龄分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65),得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(2)现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查,求第4组恰好抽到2人的概率;
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人,设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
20. (本小题满分12分)
椭圆E:+=1(a>b>0)的上顶点为A,点B (1,- )在椭圆E 上,F1,F2分别为E的左右焦点,Ð F1AF2=120°.
(1)求椭圆E的方程;
(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C,D两点,且C,F2,D不共线,问:DCF2D的周长是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=xlnx+kx,k∈R.
(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若不等式f(x)£x2+x恒成立,求k的取值范围;
(3)求证:当时,不等式成立.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。
22.(本小题满分10分) 选修4−4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率;
(2)直线l与圆C交于M,N两点,MN中点为Q,求Q点轨迹的直角坐标方程.
23.(本小题满分10分) 选修4−5:不等式选讲
设a,b是正实数, 求证:
(1)若a+2b=1,求a2+b2的最小值;
(2)若a2+4b2=1,求的最大值.
葫芦岛市普通高中2019~2020学年第一学期学业质量监测考试
高三数学(理)
参考答案及评分标准
一、选择题
CBBCD AACBD AD
二、填空题
13. 14. 15. 2;181(本小题第一空2分,第二空3分) 16. - =1
三、解答题
17(本小题满分12分)
解:(1)如图,取PA中点F,连结EF,BF.
因为E为PD中点,AD=4,所以EF∥AD,EF=AD=2.
又因为BC∥AD,BC=2,所以EF∥BC,EF=BC,
所以四边形EFBC为平行四边形. ……………………………………………………2
所以CE∥BF.
又因为CEË平面PAB,BFÌ平面PAB,
所以 CE∥平面PAB ……………………………………………………………………4
(2)取AD中点O,连结OP,OB.
因为DPAD为等边三角形,所以PO^OD.
O
P
A
B
C
D
E
F
又因为平面PAD^平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PO^平面ABCD.
因为OD∥BC,OD=BC=2,
所以四边形BCDO为平行四边形.
因为CD^AD,所以OB^OD. ………………………………………………………………6
如图建立空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, ),P(0,0,2)
所以=(2,4,0), =(0,3,). =(0,2,2)
设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即令x1=-2,则n1=(-2,1,-),…………………………8
显然,平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即 令z2=1,则n2=(2,-,1),………………………10
所以cos< n1,n2>===.
由题知,二面角P-AC-E为锐角,
所以二面角P-AC-E的余弦值为.……………………………………………………12
18. (本小题满分12分)
解:(1) 当n=1时,a1=S1=2-2a2=0,得a2=1…………………………………………………2
当n³2时,an=Sn-Sn-1=nan -(n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n-1)an,
因为a2¹0,所以= ……………………………………………………………4
=´´……´= ´´……´=, an=
综上所述,an= ………………………………………………6
(2) 当n=1时,T1=1 ………………………………………………………………………8
当n³2时,cn=(n-1)·2n
Tn=1+22+2´23+……+(n-1)´2n
2Tn= 2+ 23+……+(n-2)´2n +(n-1)´2n+1
-Tn=3+23……+ 2n-(n-1)´2n+1………………………………………10
= 3+-(n-1)´2n+1=-5-(n-2) 2n+1
Tn=5+(n-2)2n+1
综上所述,Tn=5+(n-2)2n+1 ……………………………………………………12
19. (本小题满分12分)
解 :(1)由10´(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,得a=0.035, ………………………………1
平均数为20´0.1+30´0.15+40´0.35+50´0.3+60´0.1=41.5岁;……………………………2
设中位数为x,则10´0.010+10´0.015+(x-35) ´0.035=0.5,∴x»42.1岁. ……………3
(2)第4,5组抽取的人数分别为6人,2人.
设第4组中恰好抽取2人的事件为A,则P(A)==. ……………………………6
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人,关注交通道路安全的概率为P=,…………8
X的所有可能取值为0,1,2,3,
∴P(x=0)=C(1-)3=,
P(x=1)=C()1 (1-)2= ,
P(x=2)=C()2 (1-)1= ,
P(x=3)=C()3= , ……………………………………………………………………10
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
∵X~B(3,), ∴E(X)=3´=.…………………………………………………………12
20. (本小题满分12分)
解:(1)由Ð F1AF2=120°,得=………………………①,
B点 (1,-)代入椭圆方程得 +=………1②,
由①②得a2=4,b2=1,所以椭圆E的方程为+y2=1. ……………………………………4
(2)由题意,设CD的方程为y=kx+m(k<0,m>0),
∵CD与圆x2+y2=1相切,∴=1,即m2=1+k2,
由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 , D>0
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= - , x1x2= ………………………………………6
∴|CD|=|x1-x2|=
=== ………………………8
又|CF2|2=(x1-)2+y2=(x1-)2+1-=(x1-4)2 ,
∴|CF2|=(4-x1) ……………………………………………………………………………10
同理|DF2|=(4-x2),
∴|CF2|+|DF2|=4 - ( x1+x2)= 4+
∴|CD|+|CF2|+|DF2|=4
即△CF2D的周长为定值. ……………………………………………………………………12
21. (本小题满分12分)
解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+¥),
f¢(x)=1+lnx+k, f¢(1)=1+ k,
∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),
即y=(k+1)x-1 ………………………………………………………………………………3
(2)设g(x)=lnx-x+k-1, g¢(x)=-1,
xÎ(0,1), g¢(x)>0,g(x)单调递增,
xÎ(1,+¥), g¢(x)<0,g(x)单调递减,
∵不等式f(x)£x2+x恒成立,且x>0,
∴lnx-x+k-1£0,∴g(x)max=g(1)=k-2£0即可,故k£2……………………………………6
(3)由(2)可知:当k=2时,lnx£x-1恒成立,
令x= ,由于i∈N*,>0.
故,ln<-1,整理得:ln(4i2-1)>1-
变形得::ln(4i2-1)>1-,即:ln(4i2-1)>1-( - )
i=1,2,3……,n时,有ln3>1- (1-)’
ln5>1- (1-)
…………
ln(4n2-1)> 1- ( - )
两边同时相加得: >n-(1-)=>
所以不等式在n∈N*上恒成立.
22. (本小题满分10分)
解:(1)由ρ=2sinθ得x2+y2−2y=0,
即圆C的直角坐标方程为x2+(y−)2=5.……………………………………………………2
由直线l的参数方程可得=1,故直线l的斜率为1. ……………………………………4
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 中点Q(x,y) ,将M,N代入圆方程得:
x12+y12−2y1=0………………①,
x22+y22−2y2=0………………②,
①-②得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2-2)=0……………………………………………6
化简得2x+(2y−2)=0
因为直线l2的斜率为1,所以上式可化为x+y−=0……………………………………8
代入圆的方程x2+y2−2y=0,解得x=±
所以Q点的轨迹方程为x+y−=0,xÎ[-,]……………………………………10
23. (本小题满分10分)
解:(1)法 一:由得,0<b<,
于是a2+b2=(1-2b)2+ b2=5b2-4b+1,当b=时,a2+b2取得最小值为 ……………………5
法二:(a2+b2)(12+22)³( a+2b)2=1,当且仅当a=时等号成立,
此时a2+b2的最小值为 ……………………………………………………………………5
(2)法一: ()2£[a2+(2b)2][()2+12]=4, 当且仅当 = 2b时等号成立,
因为a,b是正实数,所以的最大值为2…………………………………………10
法二:设a=cosq,b=sinq,0<q<,=cosq+sinq=2sin(q+),
∵<q+<,
∴当q+=时sin(q+)max=1,
的最大值为2 ………………………………………………………………………10