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2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版).doc
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2020 重庆市 联盟 上学 12 月月 数学 试题 解析
2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题 一、单选题 1.的实部为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【解析】直接化简得到,计算实部得到答案. 【详解】 ,故实部为 故选: 【点睛】 本题考查了复数的化简,属于简单题. 2.设集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分别计算,,再计算得到答案. 【详解】 ,所以. 故选: 【点睛】 本题考查了并集的运算,属于简单题. 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数的定义域定义得到不等式解得答案. 【详解】 函数的定义域满足,解得 故选: 【点睛】 本题考查了函数的定义域,意在考查学生的计算能力. 4.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量(单位:百人),得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量,以下结论错误的是( ) A.甲景区月客流量的中位数为12950人 B.乙景区月客流量的中位数为12450人 C.甲景区月客流量的极差为3200人 D.乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D 【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】 根据茎叶图的数据: 甲景区月客流量的中位数为12950人,乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人,乙景区月客流量的极差为3000人. 故选: 【点睛】 本题考查了茎叶图中位数和极差的计算,意在考查学生的应用能力. 5.若,,则( ) A. B.6 C. D. 【答案】C 【解析】根据得到,再利用和差公式展开得到答案. 【详解】 ∴∴. 故选: 【点睛】 本题考查了正切的和差公式,意在考查学生的计算能力. 6.执行下边的程序框图,若输入的的值为5,则输出的的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】 执行程序框图:依次为,,,,∵ ∴输出的的值为4. 故选: 【点睛】 本题考查了程序框图的计算,意在考查学生对于程序框图的理解能力. 7.函数的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分别计算,,根据零点存在定理得到答案. 【详解】 因为,,且为增函数 故的零点所在的区间为. 故选: 【点睛】 本题考查了函数零点的范围,灵活使用零点存在定理是解题的关键. 8.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的(九章算术也有记载,所以,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点(不含端点),且满足勾股定理.则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先由等面积得,利用向量几何意义求解即可 【详解】 由等面积法可得,依题意可得,,则在上的投影为,所以. 故选:D 【点睛】 本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,是基础题 9.已知等比数列的前n项和为,且,,则( ) A.16 B.19 C.20 D.25 【答案】B 【解析】利用,,成等比数列求解 【详解】 因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,因为,,所以,,故. 故选:B 【点睛】 本题考查等比数列前n项性质,熟记性质是关键,是基础题 10.已知函数,则的图象的对称中心为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】化简得到,取,计算得到答案. 【详解】 令,得 则的图象的对称中心为. 故选: 【点睛】 本题考查了三角恒等变换,三角函数对称中心,化简得到是解题的关键. 11.已知函数在R上为增函数,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立,然后分离变量,得,求出的最小值,就能确定m的取值范围. 【详解】 因为函数在R上为增函数,所以对恒成立,即对恒成立,又因为,所以. 故选:A 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围,分离变量是解决本题的关键. 12.函数在上单调递增,且为奇函数.当时,,且,则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】计算,,判断函数在上单调递增,将不等式变换为,计算得到答案. 【详解】 ,所以,则. ,所以 . 在上单调递增,且为奇函数,所以在上单调递增. 所以. 故选: 【点睛】 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,意在考查学生对于函数性质的综合应用. 二、填空题 13.的展开式中的系数为______. 【答案】. 【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】 的展开式中:,取得的系数为. 故答案为: 【点睛】 本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力. 14.某人午觉醒来,发现手机没电自动关机了,他打开收音机,想听电台准点报时,则他等待的时间不少于20分钟的概率为______. 【答案】. 【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案. 【详解】 根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为. 故答案为: 【点睛】 本题考查了几何概型,意在考查学生对于几何概型的掌握情况. 15.现有下列四个结论,其中所有正确结论的编号是___________. ①若,则的最大值为; ②若,,是等差数列的前项,则; ③“”的一个必要不充分条件是“”; ④“,”的否定为“,”. 【答案】①④ 【解析】①根据基本不等式判断;②利用等差中项先计算出公差,即可求解出的值;③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件;④含一个量词的命题的否定方法:改量词,否结论,由此进行判断. 【详解】 ①若,则,, 当且仅当时,等号成立,所以①正确; ②若,,是等差数列的前项,则, 所以,所以②不正确; ③因为,所以“”能推出“”,但是“” 不能推出“”,所示“”的一个充分不必要条件是“”,所以③不正确; ④因为特称命题的否定是全称命题,否定含一个量词的命题时,注意修改量词,否定结论.所以④正确. 故所有正确结论的编号是①④. 故答案为:①④. 【点睛】 本题考查命题真假的综合判断,难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时,注意说明取等号的条件;(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别. 16.在中,,,则当的面积取得最大值时,边上的高为______. 【答案】. 【解析】如图所示:以线段所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系,设,整理得,得到面积的最大值. 【详解】 以线段所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图所示: 则,,因为,所以 设,则,整理得 则当面积取得最大值时,的坐标为,则边上的高为. 故答案为: 【点睛】 本题考查了三角形面积的最值问题,建立坐标系是解题的关键,可以简化运算. 三、解答题 17.设,,分别为内角,,的对边,已知,. (1)若,求; (2)若,求的面积. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)计算,利用正弦定理得到,再根据边的大小关系得到答案. (2)直接利用余弦定理得到,再利用面积公式计算得到答案. 【详解】 (1)因为,所以.,所以 解得或,又,所以. (2)由余弦定理,可得,即 解得(负根舍去), 故的面积为. 【点睛】 本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 18.某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图. (1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率. (2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率. (i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01); (ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围. 可能用到的参考数据:取,. 【答案】(1)60%;(2) (i)0.12 (ii) 【解析】(1)利用上线人数除以总人数求解; (2)(i)利用二项分布求解;(ii)甲、乙两市上线人数分别记为X,Y,得,.,利用期望公式列不等式求解 【详解】 (1)估计本科上线率为. (2)(i)记“恰有8名学生达到本科线”为事件A,由图可知,甲市每个考生本科上线的概率为0.6, 则. (ii)甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X,Y, 依题意,可得,. 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市, 所以,即, 解得, 又,故p的取值范围为. 【点睛】 本题考查二项分布的综合应用,考查计算求解能力,注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点. 19.直线:与坐标轴的交点为,,以线段为直径的圆经过点. (1)求圆的标准方程; (2)若直线:与圆交于,两点,求. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)先计算交点为,,根据得到,再计算圆心和半径得到答案 (2)计算圆心到直线的距离,再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】 (1)直线:与坐标轴的交点为,. 因为以线段为直径的圆经过点,所以, 所以,解得. 所以圆的圆心为线段的中点,其坐标为,半径, 圆的标准方程为. (2)因为圆心到直线:的距离为, 所以. 【点睛】 本题考查了圆的标准方程,弦长,意在考查学生的计算能力. 20.在数列,中,,,.等差数列的前两项依次为,. (1)求的通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)根据递推公式计算,,利用等差数列公式计算得到答案. (2)将题目中两式相加得到,故是首项为2,公比为2的等比数列,计算得到通项公式,再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】 (1)∵,∴,,则的公差为 故的通项公式为. (2),① ,② ①②得. 又,从而是首项为2,公比为2的等比数列, 故. , , , 即, 即. 【点睛】 本题考查了通项公式,错位相减法,变换得到是解题的关键. 21.已知函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求,的值和的单调区间; (2)若对任意的,恒成立,求整数的最大值. 【答案】(1),,的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)3. 【解析】(1)求导得到,根据切线方程计算得到,,代入导函数得到函数的单调区间. (2)讨论,两种情况,变换得到,设 ,求函数的最小值得到答案. 【详解】 (1),由切线方程,知,, 解得,. 故,, 由,得;由,得. 所以的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)①当时,恒成立,则. ②当时,恒成立等价于对恒成立. 令,,. 令,, 则对恒成立,所以在上单调递增. 又,,所以,. 当时,;当时,. 所以,又, 则, 故,整数的最大值为3. 【点睛】 本题考查了函数的单调性,恒成立问题,将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键. 22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为. (1)求,,的值; (2)已知点的直角坐标为,与曲线交于,两点,求. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案. (2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,,计算得到答案. 【详解】 (1)由,得,则,即. 因为,,所以. (2)将代入,得. 设,两点对应的参数分别为,,则,. 所以. 【点睛】 本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键. 23.已知函数. (1)求不等式的解集; (2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】(1);(2)或. 【解析】(1)分别计算,,三种情况,综合得到答案. (2)化简得到,利用绝对值三角不等式得到 ,解不等式计算得到答案. 【详解】 (1)当时,,解得; 当时,,解得,则; 当时,,解得,则. 综上所述:不等式的解集为. (2) ,当时等号成立. 若对任意,不等式恒成立,即, 解得或. 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式解决恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力. 第 16 页 共 16 页

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