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2020
重庆市
联盟
上学
12
月月
数学
试题
解析
2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题
一、单选题
1.的实部为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】B
【解析】直接化简得到,计算实部得到答案.
【详解】
,故实部为
故选:
【点睛】
本题考查了复数的化简,属于简单题.
2.设集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分别计算,,再计算得到答案.
【详解】
,所以.
故选:
【点睛】
本题考查了并集的运算,属于简单题.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数的定义域定义得到不等式解得答案.
【详解】
函数的定义域满足,解得
故选:
【点睛】
本题考查了函数的定义域,意在考查学生的计算能力.
4.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量(单位:百人),得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量,以下结论错误的是( )
A.甲景区月客流量的中位数为12950人
B.乙景区月客流量的中位数为12450人
C.甲景区月客流量的极差为3200人
D.乙景区月客流量的极差为3100人
【答案】D
【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.
【详解】
根据茎叶图的数据:
甲景区月客流量的中位数为12950人,乙景区月客流量的中位数为12450人.
甲景区月客流量的极差为3200人,乙景区月客流量的极差为3000人.
故选:
【点睛】
本题考查了茎叶图中位数和极差的计算,意在考查学生的应用能力.
5.若,,则( )
A. B.6 C. D.
【答案】C
【解析】根据得到,再利用和差公式展开得到答案.
【详解】
∴∴.
故选:
【点睛】
本题考查了正切的和差公式,意在考查学生的计算能力.
6.执行下边的程序框图,若输入的的值为5,则输出的的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
执行程序框图:依次为,,,,∵
∴输出的的值为4.
故选:
【点睛】
本题考查了程序框图的计算,意在考查学生对于程序框图的理解能力.
7.函数的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分别计算,,根据零点存在定理得到答案.
【详解】
因为,,且为增函数
故的零点所在的区间为.
故选:
【点睛】
本题考查了函数零点的范围,灵活使用零点存在定理是解题的关键.
8.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的(九章算术也有记载,所以,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点(不含端点),且满足勾股定理.则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先由等面积得,利用向量几何意义求解即可
【详解】
由等面积法可得,依题意可得,,则在上的投影为,所以.
故选:D
【点睛】
本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,是基础题
9.已知等比数列的前n项和为,且,,则( )
A.16 B.19 C.20 D.25
【答案】B
【解析】利用,,成等比数列求解
【详解】
因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,因为,,所以,,故.
故选:B
【点睛】
本题考查等比数列前n项性质,熟记性质是关键,是基础题
10.已知函数,则的图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】化简得到,取,计算得到答案.
【详解】
令,得
则的图象的对称中心为.
故选:
【点睛】
本题考查了三角恒等变换,三角函数对称中心,化简得到是解题的关键.
11.已知函数在R上为增函数,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立,然后分离变量,得,求出的最小值,就能确定m的取值范围.
【详解】
因为函数在R上为增函数,所以对恒成立,即对恒成立,又因为,所以.
故选:A
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围,分离变量是解决本题的关键.
12.函数在上单调递增,且为奇函数.当时,,且,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】计算,,判断函数在上单调递增,将不等式变换为,计算得到答案.
【详解】
,所以,则.
,所以
.
在上单调递增,且为奇函数,所以在上单调递增.
所以.
故选:
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,意在考查学生对于函数性质的综合应用.
二、填空题
13.的展开式中的系数为______.
【答案】.
【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
的展开式中:,取得的系数为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.
14.某人午觉醒来,发现手机没电自动关机了,他打开收音机,想听电台准点报时,则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.
【答案】.
【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.
【详解】
根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了几何概型,意在考查学生对于几何概型的掌握情况.
15.现有下列四个结论,其中所有正确结论的编号是___________.
①若,则的最大值为;
②若,,是等差数列的前项,则;
③“”的一个必要不充分条件是“”;
④“,”的否定为“,”.
【答案】①④
【解析】①根据基本不等式判断;②利用等差中项先计算出公差,即可求解出的值;③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件;④含一个量词的命题的否定方法:改量词,否结论,由此进行判断.
【详解】
①若,则,,
当且仅当时,等号成立,所以①正确;
②若,,是等差数列的前项,则,
所以,所以②不正确;
③因为,所以“”能推出“”,但是“”
不能推出“”,所示“”的一个充分不必要条件是“”,所以③不正确;
④因为特称命题的否定是全称命题,否定含一个量词的命题时,注意修改量词,否定结论.所以④正确.
故所有正确结论的编号是①④.
故答案为:①④.
【点睛】
本题考查命题真假的综合判断,难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时,注意说明取等号的条件;(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别.
16.在中,,,则当的面积取得最大值时,边上的高为______.
【答案】.
【解析】如图所示:以线段所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系,设,整理得,得到面积的最大值.
【详解】
以线段所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图所示:
则,,因为,所以
设,则,整理得
则当面积取得最大值时,的坐标为,则边上的高为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角形面积的最值问题,建立坐标系是解题的关键,可以简化运算.
三、解答题
17.设,,分别为内角,,的对边,已知,.
(1)若,求;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)计算,利用正弦定理得到,再根据边的大小关系得到答案.
(2)直接利用余弦定理得到,再利用面积公式计算得到答案.
【详解】
(1)因为,所以.,所以
解得或,又,所以.
(2)由余弦定理,可得,即
解得(负根舍去),
故的面积为.
【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,意在考查学生对于三角公式的灵活运用.
18.某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.
(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.
(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
(i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);
(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围.
可能用到的参考数据:取,.
【答案】(1)60%;(2) (i)0.12 (ii)
【解析】(1)利用上线人数除以总人数求解;
(2)(i)利用二项分布求解;(ii)甲、乙两市上线人数分别记为X,Y,得,.,利用期望公式列不等式求解
【详解】
(1)估计本科上线率为.
(2)(i)记“恰有8名学生达到本科线”为事件A,由图可知,甲市每个考生本科上线的概率为0.6,
则.
(ii)甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X,Y,
依题意,可得,.
因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,
所以,即,
解得,
又,故p的取值范围为.
【点睛】
本题考查二项分布的综合应用,考查计算求解能力,注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.
19.直线:与坐标轴的交点为,,以线段为直径的圆经过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线:与圆交于,两点,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)先计算交点为,,根据得到,再计算圆心和半径得到答案
(2)计算圆心到直线的距离,再利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
(1)直线:与坐标轴的交点为,.
因为以线段为直径的圆经过点,所以,
所以,解得.
所以圆的圆心为线段的中点,其坐标为,半径,
圆的标准方程为.
(2)因为圆心到直线:的距离为,
所以.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程,弦长,意在考查学生的计算能力.
20.在数列,中,,,.等差数列的前两项依次为,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据递推公式计算,,利用等差数列公式计算得到答案.
(2)将题目中两式相加得到,故是首项为2,公比为2的等比数列,计算得到通项公式,再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】
(1)∵,∴,,则的公差为
故的通项公式为.
(2),①
,②
①②得.
又,从而是首项为2,公比为2的等比数列,
故.
,
,
,
即,
即.
【点睛】
本题考查了通项公式,错位相减法,变换得到是解题的关键.
21.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值和的单调区间;
(2)若对任意的,恒成立,求整数的最大值.
【答案】(1),,的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)3.
【解析】(1)求导得到,根据切线方程计算得到,,代入导函数得到函数的单调区间.
(2)讨论,两种情况,变换得到,设
,求函数的最小值得到答案.
【详解】
(1),由切线方程,知,,
解得,.
故,,
由,得;由,得.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)①当时,恒成立,则.
②当时,恒成立等价于对恒成立.
令,,.
令,,
则对恒成立,所以在上单调递增.
又,,所以,.
当时,;当时,.
所以,又,
则,
故,整数的最大值为3.
【点睛】
本题考查了函数的单调性,恒成立问题,将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.
(1)求,,的值;
(2)已知点的直角坐标为,与曲线交于,两点,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案.
(2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,,计算得到答案.
【详解】
(1)由,得,则,即.
因为,,所以.
(2)将代入,得.
设,两点对应的参数分别为,,则,.
所以.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)分别计算,,三种情况,综合得到答案.
(2)化简得到,利用绝对值三角不等式得到
,解不等式计算得到答案.
【详解】
(1)当时,,解得;
当时,,解得,则;
当时,,解得,则.
综上所述:不等式的解集为.
(2)
,当时等号成立.
若对任意,不等式恒成立,即,
解得或.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式解决恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力.
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