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河北省邢台市2020届高三上学期第二次月考数学理试题
Word版含解析
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邢台市
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2019-2020学年河北省邢台市高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(9月份)
一、选择题(本大题共12小题)
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3. 设,则
A. B. C. D.
4. 在中,D为边BC上的一点,且,则
A. B. C. D.
5. 已知函数,则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
6. 设,则
A. B. C. D.
7. 在公差d不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若不等式对恒成立,则实数a的取值范围为
A. B.
C. 或 D. 或
9. 已知在上单调递减,且,则
A. B. C. 1 D.
10. 在以C为钝角的中,是单位向量,,的最小值为,则
A. B. C. D.
11. 定义在R上的函数满足,且对任意的都有其中为的导数,则下列一定判断正确的是
A. B.
C. D.
12. 在数列中,且,则
A. 3750 B. 3700 C. 3650 D. 3600
二、填空题(本大题共4小题)
13. 若x,y满足约束条件则的最小值为______
14. 已知数列满足,则的前10项和为______.
15. 已知向量,,且,则______.
16. 函数图象的对称中心是______.
三、解答题(本大题共6小题)
17. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
求C;
若,求,的面积
18. 设等比数列的前n项和为,且.
求的通项公式;
若,求的前n项和.
19. 某生态农庄有一块如图所示的空地,其中半圆O的直径为300米,A为直径延长线上的点,米,E为半圆上任意一点,以AB为一边作等腰直角,其中BC为斜边.
若;,求四边形OACB的面积;
现决定对四边形OACB区域地块进行开发,将区域开发成垂钓中心,预计每平方米获利10元,将区域开发成亲子采摘中心,预计每平方米获利20元,则当为多大时,垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大?
20. 已知数列的前n项和为,,公差不为0的等差数列满足,
证明:数列为等比数列.
记,求数列的前n项和.
21. 已知函数.
求的单调区间与最值;
证明:函数在上是增函数.
22. 在直角坐标系xOy中线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为.
求直线l和曲线C的普通方程;
已和点,且直线l和曲线C交于A,B两点,求的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:集合,
,
.
故选:A.
求出集合M,N,由此能求出.
本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】C
【解析】解:.
故选:C.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.
3.【答案】A
【解析】解:,,,
.
故选:A.
可以得出,从而得出a,b,c的大小关系.
考查指数函数、对数函数的单调性,幂函数的单调性,以及增函数、减函数的定义.
4.【答案】B
【解析】解:,
故选:B.
D为边BC上的一点,且,D是四等分点,,最后得到答案.
在中,D为边BC上的一点,且,则
5.【答案】D
【解析】解:函数,
所以,
所以,
因为当时,曲线在点处的切线为,此时切线与坐标轴围成的面积是,
当时,曲线在点处的切线为,此时切线与坐标轴围成的面积是,
则“”是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为“的充分不必要条件,
故选:D.
由导数的几何意义有:曲线在点处的切线的斜率为,再由充要性即可得解.
本题考查了充分必要条件及导数的几何意义,属基础题.
6.【答案】D
【解析】解:,设,则.
则,,
则,
故选:D.
设,则则,则,再利用诱导公式、二倍角公式求得要求式子的值.
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,关键是进行角的变换,属于中档题.
7.【答案】C
【解析】解:在公差d不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,
可得,且,即,
解得,,
故选:C.
运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,可得首项和公差的方程,解方程可得所求公差.
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
8.【答案】B
【解析】解:不等式,
当,即时,不等式化为恒成立;
当时,应满足,
即,
解得;
综上知,实数a的取值范围是.
故选:B.
讨论和时,分别求出不等式恒成立对应a的取值范围.
本题考查了不等式恒成立的应用问题,也考查了分类讨论思想,是基础题.
9.【答案】C
【解析】解:由于函数在上单调递减,故,
所以,
由于,所以,解得或.
由于,
所以,解得.
同理解得,
所以.
当时
故选:C.
首先利用函数的性质求出函数的关系式.进一步利用函数的关系式求出函数的值.
本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
10.【答案】B
【解析】解:,
即函数的最小值为0,
由,得到.
因为C为钝角,所以,
故选:B.
由条件可知,因此,由此可得的最小值为0,
再根据,得到可求得C.
本题考查两向量的差的模的最值,结合二次函数,属于中档题.
11.【答案】B
【解析】解:设,则,
对任意的都有;
则 0'/>,则在上单调递增;
; ;
因为,
;
,所以关于对称,则,
在上单调递增;
即,;
即成立.故D不正确;
,故A,C均错误;
B正确.
故选:B.
根据条件对任意的都有,,构造函数,则,可得在时单调递增.由,注意到; ;代入已知表达式可得:,所以关于对称,则由在时单调递增,化简即可得出结果.
本题考查了构造法,通过构造函数的单调性,得出结论,构造适当的函数是解题的关键.属于中档题.
12.【答案】A
【解析】解:数列中,
当时,,
得,
所以,
从而,
解得,
由于数列中,符合上式,
则,
所以.
故选:A.
首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步求出数列的和.
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
13.【答案】
【解析】解:作出x,y满足约束条件对应的平面区域阴影部分
由,得,
平移直线,由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最大,此时z最小.
由,
解得,
此时z的最小值为,
故答案为:.
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最小值.
本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
14.【答案】
【解析】解:数列满足,
,,,
数列是周期为3的周期数列,
则的前10项和为:.
故答案为:.
利用递推思想依次求出数列的前5项,得到数列是周期为4的周期数列,由此能求出数列的前63项和.
本题考查数列的前63项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想的合理运用.
15.【答案】
【解析】解:向量,,
则,,;
由,得,
,
解得.
故答案为:.
根据平面向量的数量积列方程求出m的值.
本题考查了平面向量的数量积应用问题,是基础题.
16.【答案】
【解析】解:
当时,,
函数图象的对称中心是:.
故答案为:.
利用倍角公式及辅助角公式对函数解析式进行化简,根据正弦函数图象的性质即可确定函数图象的对称中心.
本题主要考查了三角函数图象与性质,倍角公式及辅助角公式的运用.考查了学生对基础知识的灵活运用.
17.【答案】解:由已知可得,
又由正弦定理,可得,即,
,
,
,即,
又,
,或舍去,可得,
.
,,,
由正弦定理,可得,
,
.
【解析】由已知利用正弦定理,同角三角函数基本关系式可求,结合范围,可求,由已知利用二倍角的余弦函数公式可得,结合范围,可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.
由及正弦定理可得b的值,根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.
本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角的余弦函数公式,三角形的内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
18.【答案】解:等比数列的前n项和为,且
当时,解得.
当时
得,
所以常数,
故.
由于,所以,
所以.
【解析】利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.
利用的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
19.【答案】解:当时,
平方米;
在中,由余弦定理得,
;
平方米,
四边形OABC的面积为
平方米;
设,则,
所以,
在中,由余弦定理得,
;
,
不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元,
则有;
化简得;
因为,
所以当时,垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大.
【解析】计算时和的面积,求和得出四边形OABC的面积;
设,求出和的面积和,得出目标函数的解析式,再求该函数取得最大值时对应的值.
本题考查了三角函数模型应用问题,也考查了转化思想以及计算能力.是中档题.
20.【答案】证明:数列的前n项和为,,
当时,解得.
当时,
得,
整理得常数,
所以数列是以1为首项2为公比的等比数列.
解:由得,解得.
公差d不为0的等差数列满足,,
解得,
解得或舍去,
所以,
则,
所以
,
得,
所以,
整理得,
故.
【解析】直接利用已知条件和等比数列的定义的应用求出结果.
利用的结论,进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果.
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
21.【答案】解:因为,所以,
所以当时,;当时,,
则的单调递增区间为,单调递减区间为;
故,无最小值.
证明:因为,所以,
由知,即,
因为,所以,即,
设,则,
因为,所以,即在上单调递增,
所以,即,
所以,即,
故在上是增函数.
【解析】,根据的符号,进而判断的单调区间,最值;
因为,所以,进而判断即可求解.
考查函数的求导,利用导函数判断函数的单调区间、最值,转化思想,属于中档题.
22.【答案】解:曲线C的参数方程为为参数,
消去参数k,得曲线C的普通方程为;
直线l的极坐标方程为,即,
直线l的直角坐标方程为;
直线l经过点,可得直线l的参数方程为为参数,
设,,
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得.
则,.
故.
【解析】把曲线参数方程中的参数消去,可得曲线的普通方程;展开两角和的余弦,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程;
写出直线参数方程的标准形式,与曲线C的普通方程联立,利用参数t的几何意义及根与系数的关系求解.
本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用,是中档题.
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。