江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 江苏省如皋、如东2019—2020学年度第一学期期中考试 高三数学 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A＝，B＝{﹣1，2，3}，则AB＝ ． 答案：{2，3} 考点：集合的交集运算 解析：∵集合A＝， ∴集合A＝(0，) ∵B＝{﹣1，2，3}， ∴AB＝{2，3}． 2．若，则的实部为 ． 答案：1 考点：虚数 解析：∵， ∴， 故的实部为1． 3．已知＝(3，4)，＝3，则 ． 答案：4 考点：与向量的模有关的计算 解析：∵＝(3，4)， ∴， 则，即①， 由＝3，得②， 由①，②解得4． 4．已知函数，若，则实数 ． 答案：﹣1 考点：分段函数 解析：当时，， 故时，，∴， 当a≥1时，， 故a＜1时，，故a＝﹣1． 5．双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，且过点(5，)，则其焦距为 ． 答案：7 考点：双曲线的性质 解析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线方程为， ∴①， ∵双曲线(a＞0，b＞0)过点(5，)， ∴②， 由①、②解得：，， ∴，即，， 故该双曲线的焦距为7． 6．已知(m，n)为直线上一点，且，则的最小值为 ． 答案： 考点：基本不等式 解析：∵(m，n)为直线上一点， ∴， ∴ 当且仅当m＝4，n＝8时取“＝”， 故的最小值为． 7．若函数()的图象关于直线对称，则＝ ． 答案： 考点：三角函数的图像与性质 解析：∵函数()的图象关于直线对称， ∴ ∴， ∵， ∴． 8．在棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，则三棱锥E—FDD1的体积为 ． 答案：18 考点：棱锥体积 解析：． 9．已知A＝[0，2]，B＝，若AB，则实数的最大值为 ． 答案：﹣1 考点：不等式恒成立 解析：由题意，得[0，2]，不等式恒成立， 参变分离得对[0，2]恒成立， 令，则， 当0＜x＜1，＜0，即在(0，1)上单调递减， 当1＜x＜2，＞0，即在(1，2)上单调递增， 故x＝1时，，故a≤﹣1，则实数的最大值为﹣1． 10．已知等差数列的公差为﹣2，且，，成等比数列，则该等比数列的公比为 ． 答案： 考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列的公差为﹣2， ∴，，， ∵，，成等比数列， ∴，即， 化简得：， 故公比q＝． 11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线(0≤x≤1)上一个动点，则的最小值是 ． 答案： 考点：平面向量数量积 解析：设P(，)， ∴＝(，)，＝(，)， 故， ∵0≤x≤1，∴时，有最小值为． 12．已知，x(0，)，则＝ ． 答案： 考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵0＜x＜，∴＜＜， ∵＞0，故＜＜， 又当＜＜0时，，与矛盾， ∴0＜＜，则， ∴ ． 13．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ． 答案： 考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率， ∴ 即，则，解得， ∵A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点， ∴＝， ∴ ． 14．已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则＋的取值范围为 ． 答案：(8，) 考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵， ∴， ∵曲线在M、N两点处的切线互相平行， ∴，即， ∴，之所以取不到等号是因为≠， 从而，对≥2恒成立， ∴，故＋的取值范围为(8，)． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A； （2）若，△ABC的面积，求的值． 解：（1）由，及余弦定理得 ，又，得． 因为△ABC为锐角三角形，所以，故． （2）因为，，根据余弦定理得 ， 又，解得 ．……① 所以，即． 又，所以 ……② 根据①②得，，所以，的值为1． 16．（本题满分14分） 如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． （1）证明：连结交于点，连结， 因为四边形是正方形，对角线交于点 ， 所以点是的中点，所以． 又因为点是侧棱的中点，所以． 在中，, 所以． 又因为，， 所以平面． （2）证明：连结. 因为为直四棱柱， 所以侧棱垂直于底面， 又平面，所以． 因为底面是菱形，所以． 又，,所以． 又因为,所以，因为， 所以， 所以． 17．（本题满分14分） 设等差数列的前n项和为，已知＝1，＝22． （1）求； （2）若从中抽取一个公比为q的等比数列，其中k1＝1，且k1＜k2＜…＜kn＜…．当q取最小值时，求的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以. （2）法一：因为{ak}为公比q的等比数列，，所以 又，所以，即，所以. 又k1＝1，k1+1＝2， 所以是公比q的等比数列，所以. 因为，所以，且公比q为正整数，解得， 所以最小的公比． 所以． 法二：因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比， 若，则由，得，此时，由， 解得，所以，同理； 若，则由，得，此时， 另一方面，，所以，即， 所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比． 所以． 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1倾斜角的余弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称． （1）求椭圆E的离心率； （2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由； （3）若圆C的面积为，求圆C的方程． O A1 A2 B1 B2 x y 解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0）， 因为直线的倾斜角的余弦值为，所以， 于是，即，所以椭圆E的离心率 （2）由可设，，则， 于是的方程为：， 故的中点到的距离， 又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切． 因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称， 所以直线与圆相切． （3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而， 设的中点关于直线：的对称点为， 则解得． 所以，圆的方程为． 19．（本小题满分16分） 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝，(，)．若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为：1． （1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式； （2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值． 解：（1）设游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为， 则在矩形中，， 所以，. 在矩形中，， 所以，. 所以，. （2）由（1）得， ， 因为，所以. 令，解得.因为，所以. 列表如下： 0 极大值 所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为. 20．（本小题满分16分） 已知函数，． （1）若函数在(0，)上单调递增，求实数的取值范围； （2）若直线是函数图象的切线，求的最小值； （3）当时，若直线与函数图象有两个交点，求实数的取值范围． 解：（1）由，得，则 ， 因为在上单调递增，所以，，， 即，，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为． （2）设切点为，则切线方程为， 因为直线是函数图象的切线， 所以，，所以， 令， ，则 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以． 所以的最小值为． （3）当时，令，则． 当时，，在上单调递增，在上至多一个零点， 故．令方程的大根为，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 因为在上有两个零点，所以， 解得（构造函数，根据单调性求解）， 所以． 取，则， 根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增， 所以在上只有一个零点． 同理，在上只有一个零点． 综上，实数的取值范围为. 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵． （1）求； （2）求． 解：（1）因为，所以. （2）因为，，所以. 所以. B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数． （1）求圆的极坐标方程； （2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求． 解：（1）设为圆上任意一点，则 x 圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点， 所以，，即， 所以圆的极坐标方程为． （2）由（1）得，即， 根据，得 ，即．（*） 设,将直线的参数方程代入（*），整理得 所以，． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 已知，记． （1）； （2）求． 解： 由得. 同理，， （2）由（1）得，当时，， 当时，； 当时，， 当时，. 所以， 所以， ． 23．（本小题满分10分） 已知Sn＝1＋＋＋…＋． （1）求S2，S4的值； （2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明． 解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝． （2）当n＝1，2时，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn． 当n＝3时，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3． 于是，猜想，当n≥3时，＞Tn． 下面用数学归纳法证明： ①当n=3时，结论成立； ②假设n＝k(k≥3)时结论成立，即＞Tk； 当n＝k＋1时，＝＋＋＋…＋ ＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋） ＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝， 当n＝k＋1时，＞Tn． 根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有＞Tn． 综上，当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn． 高考资源网版权所有，侵权必究！