2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（理）试题.doc

荆门市2020年高三年级元月调考试卷 数学（理科） 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 1．已知集合，，则 A. B． C. D． 2．设是虚数单位，则等于 A． B． C． D． 3．下列各式中错误的是 A． B. C. D. 4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 5．已知函数（，，） 的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 6．已知则 A． B． C． D． 7．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”． 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．函数的大致图象为 11．已知二面角为动点P、Q分别在a、b内，P到b的距离为,Q到a的距离为, 则PQ两点之间距离的最小值为 A. B． C． D． 12．设函数，，，若存在实数，使得集合中恰好有7个元素，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲ . 7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 14．已知向量满足且，则的夹角为▲ . 15．对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是▲ . 16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,,则三棱锥体积的最大值为▲ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和． 18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面， . （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若二面角为，求直线与平面 所成的角的正弦值． 19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图， （Ⅰ）用该样本估计总体： （1）估计该市居民月均用水量的平均数； （2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？ （Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:． （Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标； （Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值． 23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设不等式的解集是，，． （Ⅰ）试比较与的大小； （Ⅱ）设表示数集中的最大数．，求的最小值． 荆门市2020年高三年级元月调考试卷 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题：每小题5分，共60分. 1-5 DBDBC 6-10 DCBAC 11-12 AB 12.的极大值或极小值，一定在直线上，又在集合中． 当时，，得，，，，故选B． 二、填空题：每小题5分，共20分． 13. 43 14. 15. 16. 三、解答题： 17.解：（1）设等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴，………3分 ∴． ………………………………………6分 （2）∵，……………………………………8分 ∴ ………………………10分 ． …………………………12分 18.解：（Ⅰ）证明：在中，， 所以, 所以． …………………………………………2分 因为平面平面,平面平面,, 所以平面． ………………………………………………………………4分 又因为平面，所以． ………………………………………6分 （Ⅱ）因为平面，平面，所以． 又,平面平面, 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即． ……………………………………………8分 因为,所以平面． 所以是直线与平面所成的角．…………10分 因为在中，， 所以在中，． …………12分 （Ⅱ）另解：因为平面，平面，所以． 又,平面平面, 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即． ……………………………………………………………8分 即为等腰，过E作则O为BC中点，取AB中点F，连接OF 则如图建系则 设平面EAC的一个法向量为, , 由 ………………………………10分 又,直线AB与平面ACE所成的角为 则…………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）(1)月均用水量 ………………………………………………3分 （2）由直方图易知： 故月均用水量a的最低标准定为2.7吨…………………………………………………6分 （Ⅱ）依题意可知，居民月均用水量不超过2.5吨的概率是，则 ……………………………10分 0 1 2 3 X 0 1 2 3 P 故X的分布列为: ……………………………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由题意知，， ………………………………………2分 解得 则椭圆C的方程是： …………………………4分 （Ⅱ）①当AB斜率不存在时， ……………………………………………………………5分 ②设由 设则…………7分 ……………………………9分 原点O到AB的距离 ……………………………………………………………11分 故 综上：的面积为定值 .……………………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根； 解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点， 令,……………………………………………………………1分 故在处的切线方程为： …………………3分 代入点有： 由图象可得： ……………………………………………………5分 解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点． …………………………………………………………………………………………1分 ，故时，时， ……………………3分 又 由图象可得：……………………………………………………5分 解法3：…………………………………………………………………1分 ① 最多只有一个实根，不合题意； …………………………………2分 ② 故 故 ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ……………………6分 ……………………8分 ① 故，不合题意；…………10分 ② ，即 ……………………………………………………………………………12分 22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，………………2分 联立方程，解得或， ……………………………4分 所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．……………………………5分 （2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数）， 代入，整理得．…………………………………7分 设对应的参数分别为则 ……………………………………10分 另解：设为的一条切线，由切割线定理： 23. 由得，解得，∴． …………………2分 （1）由，，得，， ∴，故． ………………………………5分 （2）由，得，，， …………7分 ∴，故． ………………………………9分 当且仅当 ………………………………10分 - 12 -