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江苏省南京市2020届高三上学期期初联考试卷数学试题 Word版含解析.doc
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高考资源网() 您身边的高考专家 江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试 数学试题 2019.9 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.) 1.已知集合A=,B=,则AB= . 答案:(﹣1,0] 考点:集合的运算 解析:(﹣1,0] 2.已知复数z=(i是虚数单位),则z的虚部是 . 答案:﹣2 考点:虚数 解析:z=,所以则z的虚部是﹣2. 3.对一批产品的质量(单位:克)进行抽样检测,样本容量为1600,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,单件产品质量在区间[25,30)内为一等品,在区间[15,20),[20,25)和[30,35)内为二等品,其余为三等品.则样本中三等品件数为 . 答案:200 考点:统计,抽样调查 解析:200 4.现有三张卡片,分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序组成一个三位数,则该三位数是偶数的概率是 . 答案: 考点:古典概型 解析:将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下:123,132,213,231,312,321,共6种,其中偶数有2种,所以该三位数是偶数的概率是. 5.函数的定义域为 . 答案:[,) 考点:函数的定义域 解析:由,解得,所以原函数定义域为[,). 6.运行如图所示的伪代码,其结果为 . 答案:17 考点:算法初步,伪代码 解析:根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5+7的值,所以S=1+1+3+5+7=17. 7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:(a>0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线C的方程为 . 答案: 考点:双曲线的性质 解析:由题意可知双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为,根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为:,即可得方程=,解得a2=20,所以双曲线C的方程为. 8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现,圆柱的表面积与球的表面积之比为 . 答案: 考点:圆柱、球的表面积 解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S球=4πR2.所以. 9.函数(A>0,>0)的部分图象如图所示.若函数在区间[m,n]上的值域为[,2],则n﹣m的最小值是 . 答案:3 考点:三角函数的图像与性质 解析:由函数的最大值为2,可得A=2.由•=4,可得.由五点法作图可得 ×2+=,∴=0,函数.由于函数在[2,5]上是减函数,x=2时,=2,x=5时,=,故n﹣m的最小值是5﹣2=3. 10.在公比为q且各项均为正数的等比数列中,为的前n项和.若,且,则首项的值为 . 答案: 考点:等比数列 解析:因为,所以,则,将代入可得:,因为q>0,所以q=2,从而首项的值为. 11.已知是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,当x<0时,.已知m满足不等式,则实数m的取值范围为 . 答案:(0,1) 考点:函数性质综合 解析:当x<0时,,可得在(﹣1,0)单调递减;由是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,可得也是区间(﹣1,1)上的减函数. 因为,所以,可得如下不等式组: ,得,解得:.所以实数m的取值范围为(0,1). 12.已知圆O:x2+y2=4和圆O外一点P(,),过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,且∠AOB=120°.若点C(8,0)和点P满足PO=PC,则的范围是 . 答案: 考点:圆的方程 解析:首先求得PO=4,设P(,),则①,由PO=PC,得PO2=PC2,则x2+y2=2[(x﹣8)2+y2],化简得②,由①②得:,根据﹣4≤≤4,求得. 13.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,,取BD中点E,连接AE并延长交CD于F,若,则= . 答案: 考点:平面向量的数量积 解析:根据题意可得,, ,所以由,得 ,所以,所以=. 14.已知函数,若,且,则的取值范围是 . 答案:[,) 考点:函数与方程 解析:设,则,得:,所以=1﹣2 +.令,,当1<<2,<0,在(1,2)上单调递减,当>2,>0,在(2,)上单调递增,∴当x=2时,有最小值为,所以≥,即的取值范围是[,). 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,点E为CD的中点. (1)证明:EF∥平面PAC; (2)证明:AF⊥PC. 解: 16.(本小题满分14分) 在△ABC中,A=,AB=6,AC=. (1)求sinB的值; (2)若点D在BC边上,AD=BD,求△ABD的面积. 解: (1)∵A=,AB=6,AC= ∴由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB·AC·cosA=90 ∴BC= 由正弦定理可得:. (2)∵A=,B为锐角 ∴cosB= 由余弦定理:AD2=AB2+BD2﹣2AB·BD·cosB 因为AD=BD,所以BD= 所以S△ABD=AB·BD·sinB==3 所以△ABD的面积为3. 17.(本小题满分14分) 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分,正十字形的顶点都在圆周上.已知正十字形的宽和长都分别为x,y(单位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面积为4dm2. (1)求y关于x的函数解析式,并求其定义域; (2)现为了节约纸张,需要所用圆形纸片面积最小.当x取何值时,所用到的圆形纸片面积最小,并求出其最小值. 解: (1)由题意可得:,则, ∵,∴0<x<2 ∴y关于x的函数解析式,定义域为(0,2). (2)设正十字形的外接圆的直径为d, 由图可知, 当且仅当时,正十字形的外接圆直径d最小, 则半径最小值为, ∴正十字形的外接圆面积最小值为 答:当x取,所用到的圆形纸片面积最小,最小值为. 18.(本小题满分16分) 已知椭圆C:(a>b>0),左、右焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),椭圆离心率为,过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点(A在B的左侧). (1)求椭圆C的方程; (2)若B是AP的中点,求直线l的方程; (3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点. 解: (1)∵左、右焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0) ∴c=1, ∵椭圆离心率为 ∴a=2 ∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3 ∴椭圆C的方程为. (2)设B(,),根据B是AP的中点,得A(,) 由于A、B两点都在椭圆上,可得方程组: ,解得或, 所以B(,)或(,) 设直线l的斜率为k,则k=或,即k=± 所以直线l的方程为:, 化为一般式为:或. (3)设A(,),B(,),则E(,) 设D为直线AE与x轴的焦点,且D(d,0) 根据A、D、E三点共线得:,解得 设直线l为:,其中k≠0 则,,代入 得 ,化简得: 所以, 则 所以直线AE与x轴相交于定点(1,0). 19.(本小题满分16分) 在数列中,已知,. (1)若(k为常数),,求k; (2)若.①求证:数列为等比数列;②记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围. 解: (1)k的值为﹣1; (2)① ② 20.(本小题满分16分) 已知函数. (1)求曲线在x=1处的切线方程; (2)函数在区间(k,k+1)(kN)上有零点,求k的值; (3)记函数,设,(<)是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的最大值. 解: (1)∵ ∴ 则 又∵ ∴曲线在x=1处的切线方程y=﹣1. (2)k=3. (3) 所以实数k的最大值为. 高考资源网版权所有,侵权必究!

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