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江苏省南京市2020届高三上学期期初联考试卷数学试题
Word版含解析
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江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试
数学试题
2019.9
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知集合A=,B=,则AB= .
答案:(﹣1,0]
考点:集合的运算
解析:(﹣1,0]
2.已知复数z=(i是虚数单位),则z的虚部是 .
答案:﹣2
考点:虚数
解析:z=,所以则z的虚部是﹣2.
3.对一批产品的质量(单位:克)进行抽样检测,样本容量为1600,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,单件产品质量在区间[25,30)内为一等品,在区间[15,20),[20,25)和[30,35)内为二等品,其余为三等品.则样本中三等品件数为 .
答案:200
考点:统计,抽样调查
解析:200
4.现有三张卡片,分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序组成一个三位数,则该三位数是偶数的概率是 .
答案:
考点:古典概型
解析:将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下:123,132,213,231,312,321,共6种,其中偶数有2种,所以该三位数是偶数的概率是.
5.函数的定义域为 .
答案:[,)
考点:函数的定义域
解析:由,解得,所以原函数定义域为[,).
6.运行如图所示的伪代码,其结果为 .
答案:17
考点:算法初步,伪代码
解析:根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5+7的值,所以S=1+1+3+5+7=17.
7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:(a>0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线C的方程为 .
答案:
考点:双曲线的性质
解析:由题意可知双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为,根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为:,即可得方程=,解得a2=20,所以双曲线C的方程为.
8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现,圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
答案:
考点:圆柱、球的表面积
解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S球=4πR2.所以.
9.函数(A>0,>0)的部分图象如图所示.若函数在区间[m,n]上的值域为[,2],则n﹣m的最小值是 .
答案:3
考点:三角函数的图像与性质
解析:由函数的最大值为2,可得A=2.由•=4,可得.由五点法作图可得 ×2+=,∴=0,函数.由于函数在[2,5]上是减函数,x=2时,=2,x=5时,=,故n﹣m的最小值是5﹣2=3.
10.在公比为q且各项均为正数的等比数列中,为的前n项和.若,且,则首项的值为 .
答案:
考点:等比数列
解析:因为,所以,则,将代入可得:,因为q>0,所以q=2,从而首项的值为.
11.已知是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,当x<0时,.已知m满足不等式,则实数m的取值范围为 .
答案:(0,1)
考点:函数性质综合
解析:当x<0时,,可得在(﹣1,0)单调递减;由是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,可得也是区间(﹣1,1)上的减函数.
因为,所以,可得如下不等式组:
,得,解得:.所以实数m的取值范围为(0,1).
12.已知圆O:x2+y2=4和圆O外一点P(,),过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,且∠AOB=120°.若点C(8,0)和点P满足PO=PC,则的范围是 .
答案:
考点:圆的方程
解析:首先求得PO=4,设P(,),则①,由PO=PC,得PO2=PC2,则x2+y2=2[(x﹣8)2+y2],化简得②,由①②得:,根据﹣4≤≤4,求得.
13.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,,取BD中点E,连接AE并延长交CD于F,若,则= .
答案:
考点:平面向量的数量积
解析:根据题意可得,,
,所以由,得
,所以,所以=.
14.已知函数,若,且,则的取值范围是 .
答案:[,)
考点:函数与方程
解析:设,则,得:,所以=1﹣2 +.令,,当1<<2,<0,在(1,2)上单调递减,当>2,>0,在(2,)上单调递增,∴当x=2时,有最小值为,所以≥,即的取值范围是[,).
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,点E为CD的中点.
(1)证明:EF∥平面PAC;
(2)证明:AF⊥PC.
解:
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,A=,AB=6,AC=.
(1)求sinB的值;
(2)若点D在BC边上,AD=BD,求△ABD的面积.
解:
(1)∵A=,AB=6,AC=
∴由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB·AC·cosA=90
∴BC=
由正弦定理可得:.
(2)∵A=,B为锐角
∴cosB=
由余弦定理:AD2=AB2+BD2﹣2AB·BD·cosB
因为AD=BD,所以BD=
所以S△ABD=AB·BD·sinB==3
所以△ABD的面积为3.
17.(本小题满分14分)
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分,正十字形的顶点都在圆周上.已知正十字形的宽和长都分别为x,y(单位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面积为4dm2.
(1)求y关于x的函数解析式,并求其定义域;
(2)现为了节约纸张,需要所用圆形纸片面积最小.当x取何值时,所用到的圆形纸片面积最小,并求出其最小值.
解:
(1)由题意可得:,则,
∵,∴0<x<2
∴y关于x的函数解析式,定义域为(0,2).
(2)设正十字形的外接圆的直径为d,
由图可知,
当且仅当时,正十字形的外接圆直径d最小,
则半径最小值为,
∴正十字形的外接圆面积最小值为
答:当x取,所用到的圆形纸片面积最小,最小值为.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆C:(a>b>0),左、右焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),椭圆离心率为,过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点(A在B的左侧).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若B是AP的中点,求直线l的方程;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
解:
(1)∵左、右焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0)
∴c=1,
∵椭圆离心率为
∴a=2
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3
∴椭圆C的方程为.
(2)设B(,),根据B是AP的中点,得A(,)
由于A、B两点都在椭圆上,可得方程组:
,解得或,
所以B(,)或(,)
设直线l的斜率为k,则k=或,即k=±
所以直线l的方程为:,
化为一般式为:或.
(3)设A(,),B(,),则E(,)
设D为直线AE与x轴的焦点,且D(d,0)
根据A、D、E三点共线得:,解得
设直线l为:,其中k≠0
则,,代入
得
,化简得:
所以,
则
所以直线AE与x轴相交于定点(1,0).
19.(本小题满分16分)
在数列中,已知,.
(1)若(k为常数),,求k;
(2)若.①求证:数列为等比数列;②记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.
解:
(1)k的值为﹣1;
(2)①
②
20.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)求曲线在x=1处的切线方程;
(2)函数在区间(k,k+1)(kN)上有零点,求k的值;
(3)记函数,设,(<)是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的最大值.
解:
(1)∵
∴
则
又∵
∴曲线在x=1处的切线方程y=﹣1.
(2)k=3.
(3)
所以实数k的最大值为.
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