2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题（解析版）.doc

2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题 一、单选题 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简集合A,B,再求得解. 【详解】 由题得，. 所以. 故选：B 【点睛】 本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知复数z满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将化为后,两边取模即可求得答案. 【详解】 因为, 所以, 所以. 故选:C 【点睛】 本题考查了复数的模的运算,化为后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题. 3．已知函数，若，则（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b 【答案】A 【解析】由于为增函数,故只需判断中自变量的大小关系即可. 【详解】 由题,为增函数,且,,故,所以,故. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查指数函数的单调性,当为增函数时,自变量越大则函数值越大. 4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】根据提示三分法，考虑将硬币分为组，然后将有问题的一组再分为组，再将其中有问题的一组分为，此时每组仅为枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】 第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】 本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多. 5．如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4)，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E，O两点分别在CD两侧)．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别计算出和时, S与t之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答案. 【详解】 当时,, 当时,, 分析四个选项可知,选C. 故选:C 【点睛】 本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题. 6．如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ) A．？ B．？ C．？ D．？ 【答案】B 【解析】程序运行结果为,执行程序,当时,判断条件成立,当时,判断条件不成立,输出,即可选出答案. 【详解】 根据程序框图,运行如下: 初始, 判断条件成立,得到,; 判断条件成立,得到,; 判断条件成立,得到,; 判断条件成立,得到,; 判断条件成立,得到,; 判断条件不成立,输出,退出循环,即符合题意. 故选:B. 【点睛】 本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 7．下列判断正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数的最小值为2 C．当时，命题“若，则”为真命题 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】求解对数不等式之后即可考查选项A是否正确，利用换元法可确定选项B中函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D是否正确. 【详解】 逐一考查所给命题的真假： 对于选项A：由可得，即， 故“”是“”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题； 对于选项B：令， 由对勾函数的性质可知函数单调递增，其最小值为，则题中的命题为假命题； 对于选项C：考查其逆否命题：“若，则”， 很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题； 对于选项D：命题“，”的否定是“，”，则题中的命题为假命题； 故选：C. 【点睛】 当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 8．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先将条件平方，进而得，利用夹角公式求解即可. 【详解】 将平方得：， 解得： . . 所以向量与的夹角是. 【点睛】 本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题关键是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值，属于基础题. 9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，基本事件的总数为24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A包含1214个基本事件，故P（A）可求． 【详解】 依题意，基本事件的总数为24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A包含16个基本事件； ②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含28个基本事件， 综上A包含6+8＝14个基本事件， 所以P（A）， 故选B． 【点睛】 本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题． 10．设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率． 【详解】 设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形． ∴． 设，则， ∴，即． ∵， 又， 在△MF1F2中，由余弦定理可得：， 即， ∴双曲线的离心率e． 故选D． 【点睛】 本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题． 11．设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由题意得到方程在上仅有一个实根；令，得到函数与直线在上仅有一个交点；用导数的方法判断单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果. 【详解】 因为函数，有且仅有一个零点； 所以方程在上仅有一个实根； 即方程在上仅有一个实根；令， 则函数与直线在上仅有一个交点； 因为， 由得，因为，所以； 由得，因为，所以； 所以，函数在上单调递减，在上单调递增； 因此 作出函数的大致图像如下： 因为函数与直线在上仅有一个交点， 所以，记得. 故选B 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型. 12．在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大。根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。 【详解】 如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为 则二面角的平面角为 点在截面圆上运动，点在截面圆上运动， 由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形 设，则， 解得，所以 ，，设 则 解得 ∴ 球的半径 所求外接球的表面积为 故选B. 【点睛】 本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题。 二、填空题 13．已知实数满足线性约束条件,则目标函数的最大值是______. 【答案】9 【解析】在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域,平移直线,在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大,把点的坐标代入目标函数中即可求出目标函数的最大值. 【详解】 在直角坐标系内,不等式组所表示的平面区域如下图所示： 平移直线当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大.点的坐标是方程组 ,所以目标函数的最大值是. 故答案为：9 【点睛】 本题考查了求线性目标函数最大值问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键. 14．在等比数列中，已知，且与的等差中项为，则________ 【答案】31 【解析】根据，求出，又与的等差中项为，得到，所以可以求出 ，，即可求出 【详解】 依题意，数列是等比数列，，即，所以 ，又与的等差中项为，所以，即， 所以，所以，所以， 故答案为：31 【点睛】 本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。 15．函数，若直线是曲线的一条对称轴，则________. 【答案】 【解析】引入辅助角,根据对称性的性质可得,,从而,, 结合诱导公式和二倍角公式可求得. 【详解】 因为, 令,, 则, 因为直线是曲线的一条对称轴, 所以, 所以,, 所以,, 所以, , 所以. 故答案为:. 【点睛】 本题考查了三角函数的辅助角公式,函数的对称性,诱导公式和二倍角公式,属于中档题. 16．F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，如果△PF1F2的面积为1，，，则a=________________ 【答案】 【解析】不妨设点在轴下方,根据，,可得直线 ,直线的斜率和方程,联立方程组成方程组解得的坐标,利用面积可以算出,将的坐标代入椭圆方程,结合,解方程组可得,根据舍去一个值即可得到答案. 【详解】 不妨设点在轴下方,如图所示: 因为,所以,直线的方程为:, 因为,所以,直线的方程为:, 联立 ,解得,即, 又△PF1F2的面积为1,所以,所以, 所以, 将代入到, 得 ,又, 所以,整理得, 所以, 解得或, 因为,所以舍去, 所以,所及. 故答案为:. 【点睛】 本题考查了直线方程的点斜式,考查了三角形的面积公式,考查了椭圆的标准方程,考查了运算求解能力,利用直线 ,直线的方程解得点的坐标,代入椭圆方程是解题关键,属于中档题. 三、解答题 17．已知的内角的对边分别为，若. （1）求角C； （2）BM平分角B交AC于点M，且，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用降次公式化简，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此求得的值，进而求得的大小. （2）设，求得，然后利用以及二倍角公式列方程，解方程求得的值. 【详解】 （1）由题 又 （2）记，则，在中，， 在中，，即 即或（舍）. 【点睛】 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18．在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角大小的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.根据题意可得到四边形与四边形均为菱形，即可说明，再由题意说明平面，即，又，即可说明，即可说明平面. （Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.令，则可写出，.即可求出平面的法向量，再由（1）知平面的法向量，代入公式即可求出二面角的平面角的余弦值，方可求出二面角大小的正弦值. 【详解】 解：（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结. ∵， ∵四边形与四边形均为菱形 ∴，∵ ∵为等边三角形，为中点 ∴ ∵平面平面且平面平面. 平面且 ∴平面 ∵平面 ∴ ∵，分别为，的中点∴ ∴ 又∵ ，平面 平面 （Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，. ，. 设平面的一法向量. 由. 令，则. 由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量. ∴二面角的平面角的余弦值. 二面角大小的正弦值为. 【点睛】 本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值，其中证明线面垂直一般情况有两种思路：一，根据线面垂直的判定定理，在平面内找两条相交直线与这条直线垂直；二、通过面面垂直的性质定理，构造两平面垂直，且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线，则直线就垂直于另一个平面。二面角的正弦值一般通过向量法，先求其余弦值，再求正弦值。属于中档题。 19．设函数为常数 (1)若函数在上是单调函数，求的取值范围； (2)当时，证明. 【答案】(1) ；(2) 证明见解析. 【解析】（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用或在上恒成立，求得实数的取值范围； （2）利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】 （1）由得导函数，其中. 当时，恒成立， 故在上是单调递增函数，符合题意； 当时，恒成立， 故在上是单调递减函数，符合题意； 当时，由得， 则存在，使得. 当时，，当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增， 故在上是不是单调函数，不符合题意. 综上，的取值范围是. （2）由（1）知当时，， 即，故. 令， 则， 当时，，所以在上是单调递减函数， 从而，即. 【点睛】 该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目. 20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数. 参考数据（其中）： 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 （1）用反比例函数模型求关于的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数. 【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析. 【解析】(1)首先可令并将转化为，然后根据题目所给数据以及线性回归方程的相关计算出以及，即可得出结果； (2)计算出反比例函数模型的相关系数并通过对比即可得出结果； (3)可分别计算出单价为元和元时产品的利润，通过对比即可得出结果。 【详解】 （1）令，则可转化为， 因为，所以， 则，所以， 所以关于的回归方程为； （2）与的相关系数为： ， 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当时，（元）， 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为元； （3）①当产品单价为元，设订单数为千件： 因为签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以， 所以企业利润为（千元）， ②当产品单价为元，设订单数为千件： 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以， 所以企业利润为（千元）， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择元. 【点睛】 本题考查了线性回归方程的相关性质，主要考查了线性回归方程的求法、函数模型的对比以及通过线性回归方程解决实际问题，考查了计算能力，是中档题。 21．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的方程； (2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点． 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； ②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)①证明见解析,②有,最小值为 【解析】(1)利用可得抛物线的标准方程,根据和点在椭圆上列方程组可求得和,从而可得标准方程; (2)①利用△=0以及韦达定理可得结论; ②先求出直线过定点,将问题转化为,即求得最小值,当直线的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出和,然后求比值,此时大于,当直线的斜率不存在时,直接求出和可得比值为.从而可得结论. 【详解】 (1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以, 所以抛物线的标准方程为, 设椭圆方程为,则且,解得, 所以椭圆的方程为:. (2)①证明:设,过点与抛物线相切的直线为, 由,消去得, 由△=,得, 则. ②设 由①得,则, 所以直线的方程为,所以, 即,即直线恒过定点, 设点到直线的距离为, 所以, 当直线的斜率存在时,设直线的方程为, 设, 由,消去得, 时,△恒成立, , 由消去得,△恒成立, 则 . 所以, 当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 此时,,, 所以的最小值为. 【点睛】 本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1）：，；（2） 【解析】（1）消掉参数，从而得到曲线C上的点满足的等量关系即可得曲线的普通方程，再由，化直线的极坐标方程为直角坐标方程即可得解. （2）将曲线的普通方程化为参数方程得（为参数），再利用点到直线的距离公式运算即可得解. 【详解】 解：（1），平方后得， 又，的普通方程为． ，即， 将代入即可得到． （2）将曲线化成参数方程形式为（为参数）， 则，其中， 所以． 【点睛】 本题考查了曲线的普通方程，参数方程、极坐标方程的互化及点到直线的距离 ，重点考查了运算能力，属中档题. 23．已知为正数,且,证明: (1)； (2). 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明. 【详解】 (1)将a+b+c＝2平方得:， 由基本不等式知:， 三式相加得:， 则 所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立 (2)由，同理 则， 即当且仅当时等号成立 【点睛】 本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题. 第 26 页 共 26 页