北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 北京师大二附中2019-2020学年度高三第一学期期中 数学测试题 一、选择题 1.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过补集的概念与交集运算即可得到答案. 【详解】根据题意得，故，答案选C. 【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小. 2.下列命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。 考点：特称命题与存在命题的真假判断。 【此处有视频，请去附件查看】 3.若复数满足，则的共轭复数的虚部是( ) A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由复数的加减运算求出，得到共轭复数，即可得出结果. 【详解】因为，所以，因此其共轭复数为， 所以虚部为. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的虚部，熟记复数的概念，复数的加减运算，以及复数的共轭复数即可，属于基础题型. 4.在中，内角为钝角，，，，则（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据同角三角函数平方关系求，再根据余弦定理求 【详解】因为为钝角， 所以 因此由余弦定理得 （负值舍去），选A. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 5.若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由得：，∵不等式成立的必要条件是， ∴，故，故选A. 6.在等比数列中，，前项和为，若数列也等比数列，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先设等比数列的公比为，根据数列也是等比数列，得到，求出，进而可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为，又数列也是等比数列， 所以，即， 解得，所以； 因此； 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 7.如图，在梯形中，，，为边上一点，则的最小值为 A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果. 【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以,即,,选C. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法. 8.函数在上有定义,若对任意,有 则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下题:①在上的图像是连续不断的; ②在上具有性质; ③若在处取得最大值,则;④对任意,有 其中真命题的序号（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 ①可以不连续，只要满足图像是向下凸的特征即可。 ②正确。由Ｐ性质的定义可知[1,3]具有性质Ｐ，则在此子区间上也应具有此性质． ③正确.f(x)在x=2处取得最大值1，故对任意x1,x2属于[1,3]， 有,所以对任意，有， 而,故f(x)=1，. ④令 , 二、填空题 9.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________； 【答案】 【解析】 【分析】 结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果. 【详解】 【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力. 10. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 ． 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 【答案】轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线， 【解析】 试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑。轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均可。 考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质。 点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想。 11.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得， 解得或， 因为，所以. 因为， 所以双曲线的渐近线方程为. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 12.在中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理可得，解得。所以。因为，所以，所以角为锐角，所以, 考点：1三角形中正弦定理；2同角三角函数基本关系式。 13.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 先过点作垂直准线于点，由抛物线定义得到，再由题意求出，得到，即可求出结果. 【详解】过点作垂直准线于点， 由抛物线定义可得：， 又，所以， 因此，所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型. 14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为______； ②计算________. 【答案】 (1). （，1） (2). 2018 【解析】 【分析】 ①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果； ②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果. 【详解】①因为，所以， 所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查利用导数求对称中心，倒序相加法求函数值的和，熟记函数对称性，以及导数的计算公式即可，属于常考题型. 三、解答题 15.已知等差数列满足，前3项和. (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，，求的前项和. 【答案】(1)an (2)=2n﹣1． 【解析】 【分析】 （1）先设等差数列的公差为，根据题意求出首项与公差，即可求出结果； （2）先设等比数列的公比为，根据题意求出公比，由求等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，前3项和． ∴，，解得，． ∴． （2）设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得． ∴前项和． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型 16.已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】(1). (2). 【解析】 【分析】 试题分析： （1）观察图象可知，周期， 根据点在函数图象上，得到，结合，求得； 再根据点（0，1）在函数图象上，求得，即得所求. （2）首先将化简，利用“复合函数单调性”， 由，得， 得出函数的单调递增区间为. 【详解】（1）由图象可知，周期， ∵点函数图象上，∴，∴，解得 ， ∵，∴； ∵点（0，1）在函数图象上，∴， ∴函数的解析式为. （2） ==， 由，得， ∴函数的单调递增区间为 17.已知圆. （1）直线与圆相交于两点，求弦的长度； （2）如图，设，是圆上两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2；（2）见解析. 【解析】 试题分析：(1)先求出圆心(0,0)到直线的距离,再利用弦长公式求得弦长AB的值. (2)先求出的坐标,用两点式求直线的方程,根据方程求得他们在y轴上的截距m,n的值,计算mn的值,可得结论. 试题解析：（1）由于圆心到直线的距离. 圆的半径，所以. （2）由于，是圆上的两个动点，则可得，， 且，. 直线的方程为，令 求得. 直线的方程为，令 求得. . 显然为定值. 18.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若时,,求的取值范围. 【答案】（I）；（II）. 【解析】 试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可． 试题解析：（1）由已知得， 而， （4分） （2）由（1）知，， 设函数， ． 由题设可得，即， 令得, ．．（6分） ①若，则，∴当时， ，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值， 而． ∴当时，，即恒成立． ．（8分） ②若，则， ∴当时，，∴在单调递增， 而，∴当时，，即恒成立， ③若，则， ∴当时，不可能恒成立． ．（10分） 综上所述，的取值范围为．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】 19.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得，l的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. 【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 20.设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合. （1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素； （2）证明：若数列A中存在使得>，则 ； （3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -. 【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素； （Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可； （Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可. 试题解析：（Ⅰ）的元素为和. （Ⅱ）因为存在使得，所以. 记， 则，且对任意正整数. 因此，从而. （Ⅲ）当时，结论成立. 以下设. 由（Ⅱ）知. 设.记. 则. 对，记. 如果，取，则对任何. 从而且. 又因为是中的最大元素，所以. 从而对任意，，特别地，. 对. 因此. 所以. 因此的元素个数p不小于. 【考点】数列、新定义问题. 【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等. 【此处有视频，请去附件查看】 高考资源网版权所有，侵权必究！