2020届湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区高三上学期12月联考数学（文）试题（解析版）.doc

2020届湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区高三上学期12月联考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，，则的元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】集合， 元素个数为5个。 故答案为：C。 2．若向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量平行坐标表示列式求解，即得结果. 【详解】 故选：B 【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．若，满足约束条件且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在. 【详解】 作出约束条件表示的可行域如下图， 因为，所以，所以， 由图可知，当直线经过点时， 此时直线的截距最小，取得最小值，无最大值. 故选：C. 【点睛】 本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起. 4．设函数若是奇函数，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案. 【详解】 ∵是奇函数 ． 故选：A 【点睛】 本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题. 5．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】 A. 若，，则或相交，错误； B. 若，，则，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，正确； C. 若，，，则或或异面，错误； D. 若，，，则或异面，错误 故选： 【点睛】 本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力. 6．函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据零点存在性定理，判断零点所在区间. 【详解】 因为，，，所以的零点所在的区间为. 故选：B 【点睛】 本题考查零点存在性定理，意在考查基本概念和方法，属于基础题型. 7．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A．16 B．19 C．20 D．25 【答案】B 【解析】利用，，成等比数列求解 【详解】 因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故. 故选：B 【点睛】 本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题 8．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可 【详解】 因为，又依题意知的值域为，所以 得，， 所以，令，得，则的图象的对称中心为. 故选：B 【点睛】 本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 9．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以,再利用正切的和角公式求解可得,原式,根据诱导公式可得,进而利用倍角公式求解即可 【详解】 , 因为, 所以,故 故选：A 【点睛】 本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题 10．若函数没有极值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出导函数，然后采用分类讨论的方法分析是否有极值，注意定义域的限制. 【详解】 ，， 当时，.令，得；令，得.在处取极小值. 当时，方程必有一个正数解， （1）若，此正数解为，此时，在上单调递增，无极值. （2）若，此正数解为，必有个不同的正数解，存在个极值. 综上，. 故选：A. 【点睛】 本题考查根据函数的极值存在情况求解参数，难度一般.利用导函数分析函数的极值时，要注意到：极值点对应的导函数值一定为零，但是导数值为零的值对应的不一定是极值点，因为必须要求在导数值为零处的左右导数值异号. 11．在直角坐标系xOy中，直线l：与抛物线C：相交于A，B两点，，且，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】联立消y，得，设，，则，，因为，所以，列出等式可得k的值，然后可求得的值. 【详解】 由得，设，，则， 因为，所以， 则 ，所以． 所以． 故选：C 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解是解决本题的关键. 12．棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由边长为a的正四面体可求得外接球的半径，接着求出正三棱锥的侧棱长，从而算出正三棱锥的表面积S及体积V，最后代入公式，可得内切球的半径r. 【详解】 由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，易求得正四面体ABCD的高，外接球的半径为． 设正三棱锥的高为h，因为，所以． 因为底面的边长为a，所以， 则正三棱锥的三条侧棱两两垂直． 易求得正三棱锥的表面积，体积． 设正三棱锥的内切球的半径为r，由，得． 故选：D 【点睛】 本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题. 二、填空题 13．设向量，，，则________. 【答案】7 【解析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案. 【详解】 因为，， 所以. 故答案为：7. 【点睛】 本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题. 14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围. 【详解】 由题意可知，即对恒成立， 所以，所以即. 故答案为：. 【点睛】 本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立. 15．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是___________. ①若，则的最大值为； ②若，，是等差数列的前项，则； ③“”的一个必要不充分条件是“”； ④“，”的否定为“，”. 【答案】①④ 【解析】①根据基本不等式判断；②利用等差中项先计算出公差，即可求解出的值；③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；④含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断. 【详解】 ①若，则，， 当且仅当时，等号成立，所以①正确； ②若，，是等差数列的前项，则， 所以，所以②不正确； ③因为，所以“”能推出“”，但是“” 不能推出“”，所示“”的一个充分不必要条件是“”，所以③不正确； ④因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以④正确. 故所有正确结论的编号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】 本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别. 16．若函数在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为________. 【答案】 【解析】根据得到，由的图象特征可得，从而得到的范围，再由周期公式得到周期的范围. 【详解】 因为，，所以. 依题意可得，解得， 则. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用. 三、解答题 17．设函数． （1）若曲线与x轴的交点为A，求曲线在点A处的切线方程； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）令，可求得函数与x轴的交点A，对求导，代入点A的横坐标可得切线斜率，然后根据点斜式可写出切线方程； （2）构造函数，然后求出的最小值，不等式可证. 【详解】 （1）解：令，得，所以A的坐标为． 因为，所以， 故曲线在点A处的切线方程为． （2）证明：设函数，， 令，得；令，得． 所以， 从而，即． 【点睛】 本题主要考查求函数在某点的切线方程以及用导数证明不等式. 18．设，向量，，. （1）试问数列是否为等差数列？为什么？ （2）求数列的前项和. 【答案】（1）是等差数列,理由见解析；（2） 【解析】(1)先求解出的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出的通项公式，再根据定义判断是否为等差数列； (2)根据(1)中结果求出的通项公式，然后根据裂项相消法求解出的表达式. 【详解】 （1）， . ， 为常数， 是等差数列. （2）， . 【点睛】 本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：<1>定义法：根据(是常数)，证明等差数列.<2>等差中项法：当满足时，可证明为等差数列；(2)常见的裂项相消类型：、、. 19．已知四棱锥的直观图如图所示，其中，，两两垂直，，且底面为平行四边形. （1）证明：. （2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析， 【解析】（1）根据，得到平面，得到证明. （2）直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案. 【详解】 （1）因为两两垂直，所以，. 因为，所以平面. 因为平面，所以. （2）该四棱锥的侧视图如图所示： 依题意可得四边形为正方形，四棱锥的体积为. 【点睛】 本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据正弦定理以及，逐步化简，可求得角A； （2）角B用角C表示，逐步化简，得结果为，确定角C的范围，便能求得答案，注意一点，. 【详解】 解：（1）由，结合正弦定理可得， 即， 即， 即， 所以， 即． 因为，所以，所以． 又，所以． （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及求三角函数的取值范围. 21．如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，，为棱上一点. （1）证明：平面平面； （2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证平面，进而得到面面垂直；（2）先找到过A的一个垂直于面.的一个平面，优点A向两个面的交线作垂线即可， 解析： （1）证明：∵底面为菱形，∴. 在直四棱柱中，底面，∴. ∵，∴平面. 又平面，∴平面平面. （2）解：设与交于点，连接， 过作，为垂足，即为在平面内的正投影. 理由如下： ∵平面，∴， 又，，∴平面， ∴，又，∴平面. ∵，， ∴，由得， 过作，垂足为，由得. ∴ . 22．已知函数． （）讨论的单调性． （）若，，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）. 【解析】试题分析：（1）对函数求导，再根据分类讨论，即可求出的单调性；（2）将化简得，再根据定义域，对分类讨论，时，满足题意，时，构造，求出的单调性，可得的最大值，即可求出的取值范围. 试题解析：（1）， 当时，，所以在上递增， 当 时，令，得， 令，得；令，得， 所以在上递增，在上递减. （2）由，得，因为，所以， 当时，满足题意， 当时，设， 所以在上递增，所以，不合题意， 当时，令，得，令，得， 所以，则， 综上，的取值范围是. 点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 第 16 页 共 16 页