2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题（解析版）.doc

2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设全集1，2，3，4，5，6，7，8，集合2，3，4，6，1，4，7，8，则（ ） A．4 B．2，3，6 C．2，3，7 D．2，3，4，7 【答案】B 【解析】先求出再与取交集，即可得到答案. 【详解】 因为，2，3，4，6， 所以. 故选：B. 【点睛】 本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】 ， 抛物线的准线方程为， 即，故选A . 【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】分别解两个不等式得到集合，，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】 解不等式得；， 解不等式得：， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了. 4．直线与圆相交于、，则弦的长度为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】 圆心到直线的距离， 所以. 故选：B. 【点睛】 本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题. 5．已知数列中，，，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据递推关系求得等比数列的通项公式，再求出前项和为，化简可得. 【详解】 ，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，. 故选：D. 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到与的关系. 6．已知偶函数在区间，上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得在区间上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得，从而利用函数的单调性可得答案. 【详解】 因为偶函数在区间，上单调递增， 所以在区间上单调递减. 因为，即， 因为， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】 本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力. 7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小正周期是 C．在区间，上单调递增 D．在区间，上单调递减 【答案】C 【解析】根据函数的平移变换求出的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】 函数的图象向右平移个单位长度得：. 对A，，故A错误； 对B，最小正周期为，故B错误； 对C，当，因为是的子区间，故C正确； 对D，当，不是的子区间，故D错误； 故选：C. 【点睛】 本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力. 8．已知双曲线：，的右焦点为，，点在的一条渐近线上，若是原点），且的面积为，则的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角形的面积及，求出点的坐标，再利用点的坐标求渐近线的斜率，从而得到的值，再观察选项，即可得到答案. 【详解】 因为，所以点的横坐标等于， 因为的面积为，设点在第一象限， 所以， 所以，只有选项A符合. 故选：A. 【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量. 9．已知函数，若关于的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是（ ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【解析】画出函数的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到的取值范围. 【详解】 函数的图象如图所示： 将直线代入得：， 当直线与抛物线相切时，或， 由于方程恰有三个互不相同的实数解， 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以. 故选：D. 【点睛】 本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解. 二、填空题 10．是虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】 【解析】利用复数的除法运算，求得. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．的展开式中含项的系数是________（用数字作答）. 【答案】 【解析】根据二项展开式得，进而得到时会出现项，再计算其系数. 【详解】 ， 当时，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 12．已知，，且，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】利用1的代换，将求式子的最小值等价于求的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】 因为， 等号成立当且仅当. 故答案为：. 【点睛】 本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件. 13．已知半径为2的球的球面上有、、、不同的四点，是边长为3的等边三角形，且平面为球心，与在平面的同一侧），则三棱锥的体积为______. 【答案】 【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】 如图所示，点为的中心，则， ，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键. 14．设是等差数列，若，，则_______；若，则数列的前项和________. 【答案】 【解析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求. 【详解】 由题意得：. 因为， 所以，，， 所以. 故答案为：；. 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15．设点、、、为圆上四个互不相同的点，若，且，则_______. 【答案】 【解析】根据得到过圆的圆心，再利用向量的加法法则得，由向量数量积的几何意义得到等式，最后求得的值. 【详解】 因为，所以， 所以过圆的圆心， 所以， 因为在向量方向上的投影为：，代入上式得： . 故答案为：. 【点睛】 本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 三、解答题 16．在中，内角、、所对的边分别为、、.已知. ⑴求证：、、成等差数列； ⑵若，，求和的值. 【答案】（1）证明见解析（2）， 【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到，再利用正弦定理证得，从而证明结论成立； （2）利用余弦定理，再由（1），联立求得的值；由正弦定理求得，再利用倍角公式求得的值. 【详解】 （1）因为， 所以. 由于在中，，所以， 所以. 由正弦定理，得. 所以成等差数列. （2）在中，， 由余弦定理，得, 即. 由（1）知，所以，解得. 由正弦定理，得. 在中，因为于，所以， 所以. 所以. 【点睛】 本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求的值时，注意角这一条件的应用. 17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰. ⑴求各个年级应选取的学生人数； ⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率； ⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1）高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）（3）详见解析 【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数； （2）利用计算原理求得基本事件的总数为，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式； （3）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分计算（），最后求得期望值. 【详解】 （1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人. （2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为. （3）由题意知，随机变量的所有可能取值为， 且服从超几何分布，（）. 所以，随机变量的分布列为 1 2 3 4 所以，随机变量的数学期望为 . 【点睛】 本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型. 18．如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，. ⑴求证：平面； ⑵求二面角的正弦值； ⑶已知为棱上的点，若，求线段的长度. 【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【解析】（1）证明，，再根据，从而得到线面垂直的证明； （2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值； （3）结合（2）中，求得点，再求的值，从而求得线段的长度. 【详解】 （1）在三角形中，且为的中点， 所以.① 在中，,. 连接，在中，， 所以. 又，所以，所以.② 又因为，③ 由①②③，得平面. （2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设为平面的法向量， 则有即 令，得所以. 易得，且为平面的法向量， 所以，， 所以. 故所求二面角的正弦值为 （3）由（2）知. 设点，则. 又，， 所以，从而 即点. 所以. 所以. 【点睛】 本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性. 19．设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点. ⑴若，，求椭圆的离心率； ⑵若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程； ②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值. 【答案】（1）（2）①② 【解析】（1）由题意得，利用勾股定理得，再利用椭圆的定义得到的关系，从而求得离心率； （2）①由，得，求出后，即可得到椭圆的方程； ②设点，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得关于的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积，从而求得的值. 【详解】 （1）连接.因为， 所以是等边三角形，所以. 又，所以,所以. 于是，有， 所以，即所求椭圆的离心率为. （2）①由，得， 整理，得. 又因为，所以，. 故所求椭圆的方程为. ②依题意，设点. 联立方程组 消去，并整理得. 则，（） 且， 所以. 又点到直线的距离为， 所以. 因为，所以，解得. 经验证满足（）式， 故所求实数. 【点睛】 本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20．已知函数为自然对数的底数）. ⑴当时，求曲线在点，处的切线方程； ⑵讨论的单调性； ⑶当时，证明. 【答案】（1）（2）见解析（3）证明见解析 【解析】（1）当时，，利用导数的几何意义求得切线方程； （2）对函数进行求导得，对分和两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间； （3）证明不等式成立等价于证明成立，再构造函数进行证明. 【详解】 （1）当时，. 所以， 所以，又. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易得（）. ①当时，，此时在上单调递增； ②当时，令，得. 则当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减. 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）由（2）知，当时，在处取得最大值， 即 ， 则等价于，即， 即.（※） 令，则.不妨设（）， 所以（）. 从而，当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减. 故当时. 所以当时，总有. 即当时，不等式（※）总成立， 故当时，成立. 【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质. 第 18 页 共 18 页