2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题（解析版）.doc

2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题 一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】试题分析：由 ,得，所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A. 【考点】1、复数的基本运算；2、复数的几何意义. 2．圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将化为圆的标准方程可看出圆心坐标. 【详解】 将配方,化为圆的标准方程可得, 即可看出圆的圆心为. 故选：D. 【点睛】 本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题. 3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A．17.5和17 B．17.5和16 C．17和16.5 D．17.5和16.5 【答案】D 【解析】根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案. 【详解】 根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为17.5, 根据平均数的概念可得平均数为. 故选:D 【点睛】 本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题. 4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　） A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号 【答案】B 【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可. 【详解】 由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型. 5．已知直线，，若，则实数的值为（ ） A．8 B．2 C． D．-2 【答案】A 【解析】利用两条直线平行的充要条件求解． 【详解】 ：∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2， ∴， 解得a=8． 故选A . 【点睛】 】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】模拟运行过程，依次计算S，直到退出循环为止. 【详解】 由图，模拟执行程序得程序框图的功能是计算时的n的值，. 模拟程序的运行，可得 S＝0，n＝1， 执行循环体，S＝﹣1，不满足条件S2，n＝2， 执行循环体，S＝1，不满足条件S2，n＝3， 执行循环体， S，不满足条件S2，n＝4， 执行循环体，S＝2， 满足条件S2，退出循环，输出n的值为4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7．设，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】 ， ， ， ， 是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】 本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础题型，当命题是集合形式时，，，若时，时的充分不必要条件，同时，是的必要不充分条件，若，则互为充分必要条件. 8．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【详解】 对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是 9．已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ） A．3－ B．3＋ C．3－ D． 【答案】A 【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，直线方程为，即，到直线的距离为，点到的距离的最小值为，，所以面积最小值为．故选A． 【考点】点到直线的距离． 10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】 因为方程组有解，故直线与圆有公共点， 所以即， 当时，，有3种情形； 当时，，有3种情形； 当时，，有4种情形； 当时，，有18种情形； 故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为. 故选：B. 【点睛】 古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点， 为双曲线上一点, 由 在中运用余弦定理得： , 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。 12．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值. 【详解】 根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以, 又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线, 设外接球的半径为,所以, 所以,当且仅当时,等号成立, 所以, 所以该三棱锥外接球体积为. 故选:C 【点睛】 本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题. 二、填空题 13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________. 【答案】－3 【解析】作出可行域，目标函数过点时，取得最小值. 【详解】 作出可行域如图表示： 目标函数，化为， 当过点时，取得最大值， 则取得最小值， 由，解得，即， 的最小值为. 故答案为: 【点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 14．斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为__________. 【答案】10 【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长. 【详解】 因为焦点，所以， 联立直线与抛物线可得：，所以即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：； (2)利用焦半径公式简化计算：. 15．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____. 【答案】 【解析】根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案． 【详解】 解：根据题意，曲线，其导数， ， ， 则； 故答案为： 【点睛】 本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题． 16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 . 【答案】 【解析】设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在轴上，则，，，所以椭圆方程为. 【考点】直线圆的位置关系、椭圆的标准方程. 三、解答题 17．某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的. （1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益（单位：百万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程. 附公式：，. 【答案】（1）2;（2）;（3）. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度； （Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论． 【详解】 （Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故； （Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是， 其中点分别为，对应的频率分别为， 故可估计平均值为； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5． 由题意可知，，， ， ， 根据公式，可求得，， 即回归直线的方程为． 【点睛】 本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题． 18．已知函数， （1）当时，求函数的最小值和最大值； （2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值. 【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2） 【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由，解得角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值. 试题解析： （1） 当 ，即时，有最小值为 当 ，即时，有最大值为 (2) 与向量共线 由正弦定理得① ，由余弦定理可得② ①②联立可得 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果. 19．如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。 （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即； （2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】 （1）证明：取的中点，连接. ∵，∴为的中点. 又为的中点，∴. 依题意可知，则四边形为平行四边形， ∴，从而. 又平面，平面， ∴平面. （2），且， 平面，平面， ， ，且， 平面， 以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得. 从而， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】 本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法. 20．已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程； （2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值； 方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值． 【详解】 （1）设动圆的半径为，由已知得，，， 点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆， 设椭圆方程：（），则，，则， 方程为：； （2）解法一：设 ，由已知得， ，则，， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 当时，，， ， 又满足， ， 为定值． 解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 当时，，， , 联立直线和直线的方程，可得点坐标为， 将点坐标代入椭圆方程中,得， 即， 整理得 ， ，， 为定值． 【点睛】 本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型. 21．已知函数在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）设函数（），求在上的单调区间； （3）证明：（）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析： （1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当时可得不等式，取，可得，变形后可得，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立。 试题解析： （1）∵， ∴ ， 依题意得 解得 ∴。 （2）由（1）知， ∴ 故函数在的单调性为： 当时，的递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为； 当； 当 （3）由（2）知时， ∴ ， 即 ， 令， 得， 即, 所以， 上式中n=1，2，3，…，n， 然后n个不等式相加得 （）。 故不等式成立。 点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练。 22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； （2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值. 【答案】(1)直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：(2)4. 【解析】试题分析： (1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：； (2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：的值是4. 试题解析： （1）消去参数t可得直线的普通方程为：， 极坐标方程即：，则直角坐标方程为：， 据此可得圆的直角坐标方程为： （2）将代入得： 得，则 23．已知 （1）证明： ； （2）设为正数，求证： . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立. 试题解析：(1），， 则 ，当且仅当时取等号， (2)要证，需证，即证：，需证， 为正数，由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，将以上三个同向不等式相乘得，所以原不等式成立. 第 20 页 共 20 页