2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（文）试题.doc

武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 A． B. C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则 A． B. C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为 A． B. C． D． 5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，则 A． B. C．2 D．4 6．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A． B. C． D． 7．已知数列中，，，设，则数列的前项和为 A． B. C． D． 8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，则球O的表面积为 A． B. C． D． 9．已知双曲线的左焦点为，点为其右支上任意一点，点的坐标为， 则周长的最小值为 A． B． C． D． 10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①直线为函数的一条对称轴； ②点为函数的一个对称中心； ③函数的图象向右平移个单位后得到 函数的图象. 其中，正确说法的个数是 A．0 B.1 C．2 D．3 11．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点 A． B. C． D． 12．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是 A． B. C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的最大值为______. 14．若直线：被圆:截得的线段最短，则实数的值为______. 15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍，则所有可能的取值为______. 16．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将 沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列三个命题： A B E C D M A1 ①线段的长是定值； ②存在某个位置，使； ③存在某个位置，使平面. 其中正确的命题有______. (填写所有正确命题的编号） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本题12分） 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 18．（本题12分） A1 C B A B1 D C1 E F 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题12分） 为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示： 男 女 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5 2 1 1 0 0 9 0 （1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数，并填写下面列联表： 超过的人数 不超过的人数 男职工 女职工 （ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附：. P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20．（本题12分） 已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 21．（本题12分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分） 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为. （1）写出的普通方程和的直角坐标方程； （2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分） （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围； （2）若，，且，求证：． 武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题： 13. 14. 15. ，3，17 16. ①③ 三、解答题： 解：（1）由正弦定理，知， 即，，， 所以. ………………………………………（4分） （2）由余弦定理，知，即， 所以，当且仅当时取等号. 所以，所以. …………………………………（12分） 18．（本题12分） 解：（1）因为，，所以. 因为平面，平面， A1 C B A B1 D C1 E F 所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 易证，因为， 所以平面. ……………（6分） （2）取的中点，连结交于. 由（1）知平面，而， 所以平面. 连结，则为直线与平面所成的角. 在，求得. 又因为，所以. ……………（12分） 19．（本题12分） 解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下： ①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分； ②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分； ③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分； ④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布. 因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分） （注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分） （2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下： 超过 不超过 男职工 15 5 女职工 5 15 ……………（8分） （ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………（12分） 20．（本题12分） 解：（1）由及，得，. 所以，椭圆的方程为. ……………（4分） （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得 .由，得. 设，，则，. 因为，所以，于是，直线的方程为. 即，， 将，，，代入， 得，所以，直线过定点. ……………（12分） 另解：在中，令，得 . 所以，直线过定点. ……………（12分） 21．（本题12分） 解：（1）的定义域为，且. 令，得或. 当时，，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. （5分） （2）由（1）知，或. 因为，所以不合题意. 因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. 所以即 解得. 此时. 记，则. 因为，所以，所以在区间单调递减， 所以，解得. 所以，的取值范围为． ……………（12分） 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分） 解：（1）方程可化为. 方程可化为. ……………（5分） （2）将代入，得. 设方程的两根分别为，，则. ……10分） 23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分） 解：（1）方法一：因为， 因为存在实数，使成立， 所以，解得. ……………（5分） 方法二：当时，符合题意. 当时，因为所以. 因为存在实数，使成立，所以. 当时，同理可得. 综上，实数的取值范围为. ……………（5分） （2）因为， 所以， 当且仅当或时取等号. ……………（10分） 10第 页