2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题（解析版）.doc

2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题 一、单选题 1．复数的虚部为（ ） A．－11 B．－2 C．2 D． 【答案】C 【解析】利用复数的乘法公式化简式子，结合虚部概念得到结果. 【详解】 ， ∴复数的虚部为2， 故选：C 【点睛】 本题考察复数的乘方运算，考查虚部的概念，属于基础题. 2．已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果. 【详解】 因为随机变量的概率分布为 ， 所以， 即，所以， 故. 故选D 【点睛】 本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型. 3．某班有48名学生，一次考试后的数学成绩服从正态分布（注：）平均分为110，标准差为10，理论上说在110分到120分的人数是（ ） A．8 B．16 C．20 D．32 【答案】B 【解析】正态总体的取值关于x＝110对称，利用P（100＜x＜120）＝0.683，即可得到结果. 【详解】 解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102）， P（|x﹣u|＜σ）＝0.683， ∴P（|x﹣110|＜10）＝0.683， 根据正态曲线的对称性知： 位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半 ∴理论上说在110分到120分的人数是 （0.683）×48≈16． 故选：B． 【点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，考查密度函数的结构，本题是一个基础题． 4．从5件一等品和3件二等品的8件产品中任取2件，那么概率为的事件是 （ ） A．恰有一件一等品 B．至少有一件一等品 C．都不是一等品 D．至多一件一等品 【答案】A 【解析】分别求出恰有一件一等品的概率、至少有一件一等品的概率、都不是一等品的概率和至多一件一等品的概率，由此能求出结果． 【详解】 从5件一等品和3件二等品的8件产品中任取2件， 在A中，恰有一件一等品的概率P（A），故A正确； 在B中，至少有一件一等品的概率P（B），故B错误； 在C中，都不是一等品的概率P（C），故C正确； 在D中，至多一件一等品的概率P（D）＝1，故D错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．若二次函数f（x）的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数（x）的图象如右图所示，则函数f（x）图象的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：设时，由图可知当时，当时．所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以函数的对称轴为．因为函数的图像与轴有两个异号交点，所以此二次函数的顶点在第四象限．故D正确． 【考点】用导数研究函数的单调性． 6．若，则等于（ ） A．98 B．28 C．26 D．－98 【答案】D 【解析】对赋值，，，进而可得结果. 【详解】 当时，， 当时，， ∴， 故选：D 【点睛】 本题考查二项展开式的系数和问题，考查赋值法，考查计算能力. 7．设是奇函数 的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果. 【详解】 令，则， 因为当时，有，所以， 即函数在上单调递增； 又是上的奇函数，所以， 所以， 故函数为奇函数， 又，所以，， 由可得，， 即要使成立，只需成立； 作出函数的简图如下： 由图像可得，当时，，即. 故选C 【点睛】 本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型. 8．某单位安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 【答案】D 【解析】先考虑甲有三种方法，然后考虑乙有两种方法，其余五人有种方法，利用乘法计算原理得到结果. 【详解】 根据题意甲只能在2,4,6这三天值班，共三种情况， 又甲、乙二人安排在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择， 其余5人没有限制，有 种情况， 故不同的安排方法有种方法， 故选：D 【点睛】 本题考查分步计数原理，考查简单的带限制条件的排列组合问题，考查分析问题解决问题的能力. 9．将长为的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的骨架，以此骨架做成一个正四棱柱容器，则此容器的最大容积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x，表示出体积，求导数，即可求出此四棱柱的高，从而得到体积. 【详解】 解：设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x， 所以体积V＝Sh＝x2（18﹣2x）＝﹣2x3+18x2， 求导，得：V'＝﹣6x2+36x＝﹣6x（x﹣6）， 当0＜x＜6时，V是递增的，当x＞6时，V递减， 则x＝6cm，18﹣2x＝6cm时，V的最大值是V＝216cm3 故选：C． 【点睛】 本题考查四棱柱的体积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10．已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意总有，则下列大小关系一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 由，得f′(x)−2017f(x)>0， 故g′(x)>0,g(x)在R递增， 故，即， 即， 本题选择A选项. 二、多选题 11．下列结论中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】利用导数运算及导数运算法则，即可得到结果． 【详解】 对于A，，则，故错误； 对于B，，则，故正确； 对于C，，则，故错误； 对于D，，则，故错误． 故选：ACD 【点睛】 本题考查导数的运算公式及运算法则，考查计算能力． 12．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】ABC 【解析】根据条件，构造函数g（x）＝xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论． 【详解】 解：由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0， 则xf′（x）+f（x）， 即[xf（x）]′， 设g（x）＝xf（x）， 即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1， 即在单调递增，在单调递减， 即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1）， 故选：ABC． 【点睛】 本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键． 13．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】利用指数函数的性质与导数知识逐一判断新函数的单调性即可． 【详解】 解：对于A，f（x）＝2﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ex•2﹣x＝（）x为实数集上的增函数； 对于B，f（x）＝3﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ex•3﹣x＝（）x为实数集上的减函数； 对于C，f（x）＝x3，则g（x）＝exf（x）＝ex•x3， g′（x）＝ex•x3+3ex•x2＝ex（x3+3x2）＝ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0， ∴g（x）＝exf（x）在定义域R上先减后增； 对于D，f（x）＝x2+2，则g（x）＝exf（x）＝ex（x2+2）， g′（x）＝ex（x2+2）+2xex＝ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立， ∴g（x）＝exf（x）在定义域R上是增函数． 故选：AD． 【点睛】 本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 三、填空题 14．函数在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程． 【详解】 解：函数的导数为， 可得f（x）的图象在点处的切线斜率为k＝， 即有图象在点处的切线方程为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题． 15．8个互不相同的小球中，有5个红球，3个白球，现在不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出白球的条件下，第二次也摸出白球的概率是______. 【答案】 【解析】首先第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B，分别求出P（A），P（AB），利用条件概率公式求值． 【详解】 解：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B， 则P（A），P（AB）． ∴P（B|A）． 故答案为： 【点睛】 本题考查了条件概率的求法；利用条件概率公式，只要分别求出第一次摸出红球为事件A的概率，以及第二次摸出红球为事件B，P（AB），利用条件概率公式解答． 16．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则棱与平面所成角的正弦值等于______. 【答案】 【解析】易知：平面平面，在平面中，过点作于O点， 则为棱与平面所成角. 【详解】 连接，易知：平面平面， 在平面中，过点作于O点， ∴为棱与平面所成角， 在中，， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 17．若函数（是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】先将函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，转化为λ有两不等实根，令g（x），则直线y＝λ曲线g（x）有两不同交点，用导数方法判断函数g（x）单调性，作出函数g（x）的大致图象，结合图象即可得出结果． 【详解】 解：为函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点， 所以λ有两不等实根，令g（x）， 则直线y＝λ与曲线g（x）有两不同交点， 又， 令g′（x）＝0得x＝2， 所以，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 所以g（x）max， 又g（1）＝0，当x＞1时，， 所以，作出g（x）的大致图象如下： 由图象可得：0＜λ， 故答案为：（0，）． 【点睛】 本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形结合的思想处理，属于常考题型． 四、解答题 18．已知虚数满足（为虚数单位）. （1）求的值; （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设（且），利用模长的定义可构造出方程，整理出，从而求得；（2）整理得到，根据实数的定义求得结果. 【详解】 （1）为虚数，可设（且） 则，即 整理可得： （2）由（1）知 又 【点睛】 本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题. 19．已知且二项式的展开式中，第8项的系数和第10项的系数都小于常数项，求的取值范围. 【答案】 【解析】先求出二项式的通项公式，根据条件建立不等式组，即可得到的取值范围. 【详解】 解： 令得， ∴展开式的第9项的常数项. ∴，第8项的系数为，第10项的系数为， 由， 解得 【点睛】 本题考查二项式定理的通项公式，考查组合数的运算，属于基础题. 20．如图，在棱长都为2的正四棱锥中，是底面中心，是的中点，在棱上且，是棱上的点. （1）求平面与底面所成角的余弦值； （2）试证不可能与垂直. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】（1）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面与底面的法向量，代入公式可得结果； （2）利用即可作出判断. 【详解】 解：（1）解：以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（如图，则，，，，. 从而， ∴， 设是平面的法向量， ∴即 令，则又是底面的法向量， ∴ 故平面与底面所成二面角的余弦值为 （2）证明：由（1）知，， 设，则 ∴. ∵，∴，即，故与不可能垂直. 【点睛】 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．已知函数（）在处取得极值，其中，，为常数． （I）试确定，的值； （II）讨论函数的单调区间； （III）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（I），；（II）的单调递减区间为，单调递增区间为；（III）. 【解析】试题分析：函数的导函数为，（I）函数在处的极值，即，解方程组即可求得；（II）将代入中，并令，便可求得单调区间；（III）由前面所求的函数的单调区间，从而求得函数的最小值这样便能将不等式恒成立转化为，解不等式即可求得的取值范围. 试题解析：（I）由题意知，因此，从而． 又对求导得． 由题意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，单调递增区间为． （III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也 是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，从而，解得或． 所以的取值范围为． 【考点】导函数的运用与函数的最值. 【方法点睛】函数的极值点满足条件：导函数在极值点处的函数值必须为零，因此可先令导函数为零，求得可能极值点，再由导函数的函数值的正负确定函数的单调区间，从而确定极值点；而对于不等式的恒成立问题，可将其转化为函数的最值问题，即首先将不等式转化为函数，再由函数的单调性求得最值，有最值的取值范围确定不等式恒成立. 22．某市交通管理部门为了解市民对机动车“单双号限行”的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到了如下的列联表： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 15 有私家车 45 合计 100 已知在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是. （1）请将上面的列联表补充完整； （2）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”； （3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该市大量市民中，采用随机抽样方法每次抽取1名市民，抽取3次，记被抽取的3名市民中的“赞同限行”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)见解析 ；(2) 见解析；(3)见解析 【解析】(1)根据题中数据，在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，求出“赞同限行”的市民人数，以及没有私家车的人数，进而可完善列联表即可； (2)根据(1)数据，由计算出的观测值，结合临界值表，即可得出结果； (3)先由题意确定～，从而可求出其对应概率，得到分布列，结合公式可求出期望方差. 【详解】 解：（1）因为在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是， 所以“赞同限行”的市民共75人，其中没有私家车的30人， 从而，所给列联表补充如下： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 30 15 45 有私家车 45 10 55 合计 75 25 100 （2）依据表中数据，易得的观测值为 . 因为， 因此，在犯错误概率不超过0.10的前提下，能够判断市民“对限行的态度与是否拥有私家车有关” . （3）由题意，得～，从而 ：： ；. 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 故：. 【点睛】 本题主要考查独立性检验以及二项分布，熟记独立性检验的思想以及二项分布的期望与方差公式即可，属于常考题型. 23．已知函数，，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程. （Ⅱ）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论 极值情况即可. 试题解析：（Ⅰ）由题意 又， 所以， 因此 曲线在点处的切线方程为 ， 即 . （Ⅱ）由题意得 ， 因为 ， 令 则 所以在上单调递增. 因为 所以 当时， 当时， (1)当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以 当时取得极小值，极小值是 ； (2)当时， 由 得 ， ①当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 当时取得极大值. 极大值为， 当时取到极小值，极小值是 ； ②当时，， 所以 当时，，函数在上单调递增，无极值； ③当时， 所以 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 当时取得极大值，极大值是； 当时取得极小值. 极小值是. 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 函数有极小值，极小值是； 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是 极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是； 极小值是. 【名师点睛】 1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′(x0)(x−x0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 第 21 页 共 21 页