2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）.doc

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．设是等差数列的前项和，，，则公差（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．设，满足约束条件，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．在中，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 8．若存在，使成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 12．设函数在定义域上是单调函数，且，． 若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若为定义在上的奇函数，当时，，则 ． 14．已知， 则 ． 15．已知函数只有一个零点，则 ． 16．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则四棱锥的表面积为 ． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为． （1）甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率； （2）某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算? 19．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且． （1）证明：平面； （2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值． 20．（12分）已知椭圆过点，且它的焦距是短轴长的倍． （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为，求． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围． 7第 页 2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵或，∴． 2．【答案】B 【解析】因为，所以． 3．【答案】D 【解析】∵，∴，∴． 4．【答案】A 【解析】，，，故． 5．【答案】C 【解析】由函数，得定义域为，且有成立， 所以函数的图象关于原点对称，且与轴交于和两点． 当时，，所以在内函数图象在轴下方， 在内函数图象在轴上方，再用对称性得到完整的函数图象． 6．【答案】D 【解析】的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率， 画出可行域（图略），得的最大值为． 7．【答案】A 【解析】． 8．【答案】C 【解析】记， 因为存在，使成立， 所以只需当时，，即． 9．【答案】C 【解析】如图，连接，则由椭圆的对称性易得，， 所以，所以． 因为，所以． 因为，所以，从而有． 又因为是线段的中点，所以． 10．【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，为的中点， 外接球球心在过的中点且垂直于平面的直线上， 又点到，，的距离相等，所以又在过左边正方体一对棱的中点，所在直线上， 在中，由，即，得， 所以三棱锥外接球的球半径，． 11．【答案】A 【解析】由，得，， 故线段所在直线的方程为， 又点在线段上，可设，其中， 由，，即，， 得，， 所以． 由于，可知当时，取得最小值， 此时， 当，取得最大值，此时，所以． 12．【答案】D 【解析】由于是单调函数，则为定值， 不妨设，则． 又，解得，则，， 所以，即． 设，则， 易知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】∵，所以． 14．【答案】 【解析】令，可得； 令，可得， 所以． 15．【答案】 【解析】因为函数为偶函数，且函数只有一个零点， 故，所以． 16．【答案】 【解析】如图，连接，交于点，取的中点为，连接． 设四棱锥外接球的球心为，等边三角形外接圆的圆心为， 则为的重心，则，正方形外接圆的圆心为． 因为，平面平面，所以平面，所以， 所以四边形为矩形，所以． 设正方形的边长为，则，所以，， 所以四棱锥外接球的半径为， 所以四棱锥外接球的表面积为， 四棱锥的体积为， 所以，即，解得， 所以正方形的边长为，所以，，，，， 所以四棱锥的表面积为． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，∴，∴， 故． （2）∵， 又，，∴，∴． 由（1）可知，从而的面积． 18．【答案】（1）；（2）选择方案①更划算． 【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为， 所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为． （2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为元，则或． 的分布列为 则． 若选择方案②，则购买总价的数字期望为元． 若选择方案①，由于购买箱能获赠箱，所以该单位只需要购买箱， 从而购买总价为元． 因为，所以选择方案①更划算． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以平面． （2）设，则， 四面体的体积． ， 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 故当时，四面体的体积取得最大值． 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为， 则，即，令，得． 同理可得平面的一个法向量为， 则． 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为． 20．【答案】（1）；（2）存在，，． 【解析】（1）因为椭圆过点，所以， 又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而． 联立方程组，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设存在这样的常数，使，的面积为定值． 设直线的方程为，点，点， 则由知，， 所以①． 联立方程组，消去得． 所以②，③， 又点到直线的距离， 则的面积④． 将②③代入①得，化简得⑤， 将⑤代入④得 ， 要使上式为定值，只需，即需，从而， 此时，， 所以存在这样的常数，此时． 21．【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）． 【解析】（1）当时，，所以函数的定义域为， 所以，且， 令， 所以当时，，，所以． 又，所以当时，， 所以在上单调递减，故． 同理当时，；当时，， 所以在是单调递增，在单调递减， 所以当时，的极大值为，无极小值． （2）令， 因为对任意都有成立， 所以． 因为，所以． 令，即，解得；令，即，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为，所以，当时， 令，即，解得；令，即，解得． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为． 22．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由题意可得， 故的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）， 消去参数，得的普通方程为， 消去参数，得的普通方程为． （2）的方程为，即， 因为圆上只有一个点到的距离为，圆的半径为，所以到的距离为， 即，解得（舍去）． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 故不等式的解集为． （2）∵， ∴， 当或时，不等式显然成立； 当时，，则． 故的取值范围为．