江苏省苏州陆慕高级中学2020届高三上学期第六次双周考数学试卷 Word版含答案.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在答题卡相应位置上 1．集合，，则 ． 2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 . 3．已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空） 4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 5.已知等差数列的前11项的和为55，，则 ． 6．已知函数 则不等式的解集为 ． 7．已知为锐角, ,则__________． 8. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 . 9．若将函数f(x)＝sin(wx+)(w＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 ． 10. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 11. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为．若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 12. 已知，且．若点C满足，则的最小值是 , 13. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ； 14. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ； 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A的大小； （2）若,求的取值范围 16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，且 N是的中点． (1)求证：直线平面； (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点． 17. （本小题满分14分）已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程； （2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积为1时，求直线l的方程． 18. （本小题满分16分）某山区有三个村庄、、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已知，，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设. A B C P （1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）求当在何处时，总费用最小. 19. （本小题满分16分）已知数列中，，，其中是数列的前项和，且满足. （1）求实数的值； （2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （3）数列中是否存在正整数，，（），使得，，成等差 数列？如果存在，求出，，的所有解；若不存在，请说明理由． 20. （本小题满分16分）已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围； （3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由. 附加卷 本试卷共40分，测试时间30分钟 21. （本小题满分10分）矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求. 22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值． 23. （本小题满分10分）如图，在三棱柱中，，，且． （1）求棱与BC所成的角的大小； （2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为． 24．(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望； （2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少? 数学答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1． 集合，，则 ▲ ． 2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 ▲ . 3． 已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空）充分不必要 4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 5． 已知等差数列的前11项的和为55，， 则 ▲ ．13 6．已知函数 则不等式的解集为 ▲ ． 7．已知α、β为锐角,cosα＝,tan(α−β)＝−,则tanβ＝来 33 8. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 ▲ . 9．若将函数f(x)＝sin(wx+)(w＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 ．3 10. 当时，关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ． 15. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为．若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． 16. 已知，且．若点C满足，则的最小值是 ▲ , 17. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ▲ ； 18. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ▲ ；8 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，，，且 N是的中点． (1)求证：直线平面； (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点． 15．(1)证明：直三棱柱， ，，， ，,, ， ..................................3分 , ， ，且 N是的中点， ，,， 直线平面 ..................................7分 (2)证明：平面， 平面， ， ，N是的中点， M是的中点． .............................14分 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A的大小； （2）若,求的取值范围 16.解：（1） …………………………3分 是三角形的内角 …………………………7分 （2） ………………………9分 ………………………14分 17.已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点． (1) 求椭圆C的方程； x O y F A P Q （2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积为1时，求直线l的方程． 17. 解：（1）由， …………………………………2分 由解得， 故椭圆方程为. …………………………………6分 （2）法一：设方程为， 令， 联立 消去， …………………………………8分 ， 解得 所以， …………………10分 则， 解得 故方程为. ………………………14分 法二：设方程为， 令， 联立 消去， ………………………8分 ， 则， 所以， ………………………10分 则 解得 故方程为. …………………14分 19. （本小题满分16分） 某山区有三个村庄、、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已知，，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设. A B C P （1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）求当在何处时，总费用最小. 解：（1）在中，， 在中，由正弦定理得， 所以，， ……………………4分 所以 ……………………8分 （2），令，，记，则，所以 极小值 所以时最小，此时……………………14分 答：当时，总费用最小……………………16分 19.（本小题满分16分） 已知数列中，，，其中是数列的前项和，且满足. （1）求实数的值； （2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （3）数列中是否存在正整数，，（），使得，，成等差 数列？如果存在，求出，，的所有解；若不存在，请说明理由． 解：（1）令，，，，…………3分 （2）① 时，② ①- ②得 为定值， 为首项为，公差为的等差数列 ……………………9分 （1） 假设存在正整数、、使得，、、成等差数列，则 设，，所以为递减数列 ①时， 左边， 左边 右边 时，（舍），时（舍），时 时 ，，；……………………12分 ②时，左边 左边右边，方程无解 综上：，，.……………………16分 20. （本小题满分16分） 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围； （3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由. 解（1） 又 切线方程为……………………3分 （2）对任意的恒成立. 即 设， ①若，则 在递增 又 不等式恒成立……………………5分 ②若， 令得 － 0 ＋ 递减 极小值 递增 , 设，, 所以在递减，又因为. 所以. 所以无解. 综上：……………………9分 （3）假设存在两点，且，使得直线的斜率满足:， 因为 因为，所以……………………11分 两边同除以得， 设， 因为，所以， 得. 设 因为， 所以在递增，又因为. 所以. 故不存在两点，且，使得直线的斜率满足：.……………………16分 数学答案 21.矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求. 解：由题意. ……1分 ……3分 的特征多项式为.则. ……5分 当，特征方程属于特征值的一个特征向量为， . ……7分. ……10分 22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值． 解：，圆心，半径， ，圆心，半径．………3分 圆心距， ……………5分 两圆外切时，； ………………7分 两圆内切时，． 综上，或．…………………………………10分 23. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 如图，在三棱柱中，，，且． （1）求棱与BC所成的角的大小； （第22题） B A C A1 B1 C1 （2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为． 【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则 ， ，． ， 故与棱BC所成的角是． ………………………4分 B A C A1 B1 C1 z x y P （2）P为棱中点， 设，则． 设平面的法向量为n1，， 则 故n1……………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则， 解得，即P为棱中点，其坐标为…………………10分 24．(本小题满分10分) 一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望； （2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少? 23．解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则． ∴． …………………………………………………1分 设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则， ∴， ∴或(舍)． ∴红球的个数为(个)． …………………………………3分 ∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是 0 1 2 的数学期望． …………6分 （2）设袋中有黑球个，则…）． 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C， 则， …………………………………8分 当时，最大，最大值为．…………………………………10分 - 19 - 版权所有@高考资源网