2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试题（解析版）.doc

2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出. 【详解】 因为，，所以，又因为集合 ，所以，故本题选A. 【点睛】 本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键. 2．已知空间三条直线，若与垂直，与垂直，则（ ） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与平行、相交、异面均有可能 【答案】D 【解析】由题意知，可知的关系不确定，可以是任意的空间直线的关系. 【详解】 因为， 所以与既可以相交，也可以异面，还可以平行， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了空间两条直线间的位置关系，属于容易题. 3．复数满足，则（ ） A．恒等于1 B．最大值为1，无最小值 C．最小值为1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 【答案】C 【解析】设，（），由可得，由即可求解. 【详解】 设，（）， 因为， 所以， 即， 解得， 所以， 所以有最小1，无大值. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了复数的概念，复数的模，属于中档题. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( ) A．16 B．32 C．44 D．64 【答案】B 【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解． 【详解】 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面． 则． 该几何体的表面积． 故选：． 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】构造函数,利用函数的奇偶性和单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 设， 则函数是偶函数，当时，为增函数， 若，即 可得， 平方得，即， 由， 可得， 即，且， 所以， 则成立，即充分性成立， 当时，满足，且， 但，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，属于中档题. 6．函数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。 【详解】 解： 所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故故排除 故选： 【点睛】 本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。 7．已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围 【详解】 解：设，，， 如图所示： 则由 又与的夹角为， 又由 由正弦定理得 故选：． 【点睛】 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题． 8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( ) A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)> 【答案】C 【解析】表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。 【详解】 解：依题意可得， 因为 所以即故，错误； 即，故成立； 故错误 故选： 【点睛】 本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。 9．设函数，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】 令，其中， 取可得 取可得 取可得 由可得：， 将代入可得：． 故选A． 【点睛】 本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题． 10．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过且与一条渐近线平行的直线的方程，依题意在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，可求出与的关系，即可求出离心率的取值范围。 【详解】 解：双曲线的渐近线为，由极限思想，设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即，依题意若在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，即 即 故选： 【点睛】 本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的运用，属于中档题。 11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立空间直角坐标系，设二面角为，用含的式子表示点坐标，利用向量法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出，即可求出线面角的正切值的最大值。 【详解】 解：如图， 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，， 易知平面的法向量 设直线与平面所成角为，则 令， 则时即在上单调递增； 时即在上单调递减； 则 故选： 【点睛】 本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。 12．己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为( ) A．2019 B．2018 C．4038 D．4037 【答案】D 【解析】首先求出数列的前几项，猜想时构造函数证明猜想是正确的，即可求出. 【详解】 解：依题意得，， 可猜想时 证明：令 则 可得在单调递减，在单调递增. 即 ，满足条件，故猜想正确； 故选： 【点睛】 本题考查由递推公式求数列的和，综合性较强，难度比较大。 二、填空题 13．上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________ 【答案】 【解析】由直线y=kx与圆相交得 所以概率为 . 14．如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝，A＝60°，△ABC的面积等于，则角平分线AD的长等于__________. 【答案】 【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：，根据余弦定理可求的值，利用角平分线可得，结合，解得的值，在中，由余弦定理可得的值． 【详解】 解：，，的面积等于， 解得：，① 由余弦定理， 可得：， 解得：，② 由①②联立解得：，或（由于，舍去）． ， 为角平分线，可得，且， 解得：， 在中，由余弦定理可得： ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15．已知数列满足，其前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】根据题意设，由递推关系表示出，要使恒成立，则,解得即可. 【详解】 设， 因为， 则，，，，，，， ， 可知数列的奇数项是递减的，且偶数项也是递减的， 且当时，， 当时，， 要使恒成立，则， 解得，即， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了数列的递推关系式及数列前n项和的性质，属于难题. 16．已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________. 【答案】 【解析】计算，的值得出点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算． 【详解】 解：设，，则， 不妨设在第一象限，则，， 故以为圆心以为半径的圆为：，① 以为圆心以为半径的圆为：，② ①②得：，代入椭圆方程可得：， 故，， 当时，由得，故， 椭圆在处的切线的斜率． 切线方程为：，即， 原点到切线的距离． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题． 三、解答题 17．已知函数f(x)＝sinx－cosx (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(B)＝，b＝3，求△ABC面积的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间； （2）由（1）可求利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。 【详解】 解： （1）令，解得 ， 故函数的单调递增区间为， （2）由 或， 或， 是三角形的内角， 即 当且仅当时， 的面积取最大值是 【点睛】 本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。 18．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点. (1)求证：AE//平面PDC； (2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面． （2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值． 【详解】 解：（1）证明：取的中点，连结、， 是的中点，，且， ，，，且， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面． （2）解：，是等腰三角形， ，又，， 平面，平面， ，又，平面， 平面，，， 又，平面， 连结，，则就是直线与平面所成角， 设， 在中，解得，，， 在中，解得， 在中，， 直线与平面所成角的余弦值为． 【点睛】 本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球. (1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【解析】（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”，表示出事件的概率，取出的4个球中恰有1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率计算公式计算； （2）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3，4，结合（1）中信息分别求出相应的概率，写出分布列即可． 【详解】 （1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球” 则， 设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”， 取出的4个球中恰有1个红球的概率为， （2）可能的取值为0，1，2，3，4． 由（1）得，，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 即 【点睛】 本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 20．如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0). (1)求M点的横坐标； (2) 求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标； （2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值． 【详解】 解：（1）设，，，，，， 则，，， ， 而， 由得，即； （2）设直线即， 与抛物线联立得， 则，， 所以， 而到直线的距离为， 所以， 又由于， 所以， 令，则且， 所以， 令， 则， 当，，当时，， 故， 即面积的最大值为8． 【点睛】 本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21．已知函数，. （1）若函数有且只有两个零点，求实数的取值范围； （2）设函数的两个零点为，，且，求证. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）求导，根据导数求函数唯一的极大值，函数有两个零点转化为极大值大于零，且时，时，即可，分类讨论即可求出（2）变形方程，可得，是的两根，构造函数，利用导数求其单调区间，可得，即可证明不等式. 【详解】 （1）解：，∴ 当时，，∴在上单调递增， 当时，，∴在上单调递减. ∴ ∵有且只有两个零点， ∴，即， 且时，时，，函数有两个零点， 若时，不符合题意， 若时，不符合， 若时，满足， 综上，若使有且只有两个零点，∴ （2）证法一： ∵，∴，∴，∴，是的两根 设，，，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵，设，则必有， 构造函数，， ∵， ∴在上单调递增，∴， ∴， 又∵，在上单调递减， ∴，∴， ∴，即； ∴，即. 证法二：不妨设， ∵，∴，即， 设，∴，∴， ∵，∴， ∵，要证，只需证， 即证，即证. 设，（）， ∵，∴在单调递增. ∵，∴， ∴，∴，即. 证法三： 不妨设， ∵，∴， 要证，只需证， 变形，得：，即. 设∴，设，（）， ∵，∴在上单调递增， ∴，∴成立，∴. 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力、分类讨论方法，属于难题． 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为. (1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； (2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值. 【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为. 【解析】（1）由，，可将直线的方程转化为直角坐标方程，由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程； （2）设，由条件可得，再由到直线的距离求出最值即可． 【详解】 解：（1）直线的极坐标方程为，即． 由，，可得直线的直角坐标方程为， 将曲线的参数方程，消去参数， 得曲线的普通方程为； （2）设，， 点的极坐标化为直角坐标为， 则， 点到直线的距离，其中 所以 面积的最大值为，最小值为 【点睛】 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 23．已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3.证明： (1)ab＋bc＋ac≤3； (2). 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用重要不等式证明； （2）由基本不等式有：，，，三式相加可得：，即可证明． 【详解】 （1）证明：正实数，，满足， ，， 当且仅当时等号成立 （2），， 当且仅当时等号成立 【点睛】 本题考查了重要不等式、基本不等式的性质，属于基础题． 第 24 页 共 24 页