2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第五次月考数学（理）试卷.doc

2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第五次月考数学（理）试卷 　　　　　　　　　　　 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 2、已知复数满足:（为虚数单位），则为（ ） A． B． C． D．1 3、下列叙述中正确的是(　　) A．若a，b，c∈R，且a＞c，则“ab2＞cb2” B．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≤0” C．“φ＝”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件 D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β 4、已知函数，则下列结论正确的是（） A．是偶函数 B．在上是增函数 C．是周期函数 D．的值域为 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A．f(x)＝3x B． C． D． 6、如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－y＋＝0平行，则双曲线的离心率为 A．3 B．2 C． D． 7、已知函数f(x)＝2sin(π－x)·cosx＋2cos2x－1，其中x∈R，则下列结论中正确的是 A．f(x)是最小正周期为π的奇函数; B．f(x)的一条对称轴是x＝ C．f(x)在上单调递增 D．将函数y＝2sin 2x的图象左移个单位得到函数f(x)的图象 8、已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为 A．4 B．3 C． D．2 9、在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是 A．A1O∥D1C B．A1O⊥BC C．A1O∥平面B1CD1 D．A1O⊥平面AB1D1 10、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2； ③c1a2>a1c2. ④< 其中正确式子的序号是 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若 ,,则球的半径为 A． B． C．D． 12、设 ，若函数 在区间(0，4)上有三个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分. 13、已知函数f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0且a≠1)，其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝________. 14、等差数列中，，是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则的前9项和等于 . 15、已知向量a＝(x，1)，b＝(y，x2+4)且ab，，则实数y的取值范围是 . 16、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为 . 三、 解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤. 17、(本题满分12分)已知锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）求函数的值域. 18.（本小题满分12分）已知正项等比数列的前项和为，且, ， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （1）证明：CD⊥平面A1OC； （2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 20、（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求 的面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数. （1）讨论函数的极值点的个数； （2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值. 22、（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为,直线的参数方程为 (1)求曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)求曲线C上的点M到直线的最大距离。 数学试卷理参考答案 一、选择题（单项选择，每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D D D B C A C B C D 二、填空题（每题5分，共20分） 13．10 14．18 15. 16． 17．(本题满分12分) 已知锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小；（2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 解析：（1）由，利用正弦定理可得， 可化为：， . （2） 18.已知正项等比数列的前项和为，且, ， （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 【解析】： （1）因为，，所以或（舍去）. 又，故，所以数列的通项公式为. （2）由（Ⅰ）知，∴，① ∴，② ②①得，∴. 19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． (1)证明：CD⊥平面A1OC； (2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点， ∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC， 从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2) 由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC， 所以∠A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以∠A1OC＝. 设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)， 平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ， 20. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为， 求的面积的最大值． 20．（12分） 解：（I）椭圆的方程为：．·········4分 （2）由题意知（为点到直线的距离）， 设的方程为，联立方程得， 消去得， 设，，则，，·········6分 则，·········8分 又，·········9分 ，·········10分 令，由，得， ，，易证在递增，， ，面积的最大值．·········12分 21．（12分）.已知函数. （1）讨论函数的定义域内的极值点的个数； （2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值. 解：（I）的定义域为，. 当时，在上恒成立，函数f(x)在上单调递减. 在(0，＋∞)上没有极值点. 当时，由得， 所以，在上递减，在上递增，即在处有极小值. 综上，当时，在上没有极值点； 当时，在上有一个极值点. (Ⅱ) ∵函数在处取得极值， ，则，从而 因此即， 令，则，由得 则在上递减，在上递增， ，故实数b的最大值是 22.已知曲线的极坐标方程为. （1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）若是曲线上的一个动点，求的最大值. 22.【解析】：(Ⅰ)由ρ2＝，得,即， 故曲线C的直角坐标方程 (Ⅱ)∵P(x，y)是曲线C上的一个动点，∴可设，则 ，其中. ∵，∴当时， - 9 -