2020届江西省赣州市重点校高三上学期补习班期末适应性考试数学（理）试卷.doc

2020届江西省赣州市重点校高三上学期补习班期末适应性考试数学（理）试卷 一、选做题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 3．若设，则 的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为，则实数 的值为( ) A． B． C． 或 D． 5．执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ） A． B． C． D． 6．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．以下四个命题中，真命题的是（ ） A． B．“对任意的”的否定是“存在” C．，函数都不是偶函数 D．中，“”是“”的充要条件 8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ） A． B． C． D． 9．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ） A． B． C． D． 10．已知奇函数满足，若当时，，且，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 11．在中，，点 是所在平面内一点，则当 取得最小值时， ( ) A． B． C． D． 12．已知函数，若，且对任意的，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共四小题，每题5分，共20分。 13．已知随机变量服从正态分布且，则_____________ 14．已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______ 15．已知函数，若，则函数 的单调递增区间为_______ 16．设数列的前项积为，且. 若 ，则数列的前项和为________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（12分）已知中，角的对边分别为，若 + （Ⅰ）求； （Ⅱ）若 ，求面积的最大值。 18．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点（不与A，C重合）． （1）证明：AD⊥PB； （2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值. 19．（12分）某品牌服装店为了庆祝开业两周年，特举办“你敢买，我就送”的回馈活动，规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏，赢取奖金，游戏分为以下两种： 游戏 1：参加该游戏赢取奖金的成功率为，成功后可获得元奖金； 游戏 2：参加该游戏赢取奖金的成功率为，成功后可得元奖金； 无论参与哪种游戏，未成功均没有收获，每人有且仅有一次机会，且每次游戏成功与否均互不影响，游戏结束后可到收银台领取奖金。 （Ⅰ）已知甲参加游戏 1，乙参加游戏 2，记甲与乙获得的总奖金为，若，求的值； （Ⅱ）若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2，问：他们选择何种规则，累计得到奖金的数学期望值最大？ 20．（12分）已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由． 21．（12分）已知函数，函数的图像为直线． （Ⅰ）当时，若函数的图像永远在直线下方，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，若直线与函数的图像的有两个不同的交点，线段的中点为，求证：． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所有题目的题号涂黑。 22． （10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系． （1）求曲线，的直角坐标方程； （2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值． 23．（10分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数. （1）若，解不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 理科数学试题参考答案 1．B2．B3．A4．C5．A6．C7．D8．C9．B 10．A由可得，因为为奇函数， 所以，故，函数周期为， 所以， 当时，令，可得，所以可以，即 11．D【解析】 以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设 当时取得最小值，，选D. 12．B【解析】若，且对任意的恒成立， 即 ，对任意恒成立，令，则 令 ，则 所以函数 在 上单调递增.因为 所以方程 在上存在唯一实根 ，且满足 当 时， ，即 ，当 时， ，即 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增 所以 所以= 所以 ，因为 ，故整数 的最大值为 ，故选B. 13．0.76 14． 15． 16．【解析 17．【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得： 又 . （Ⅱ） 由余弦定理可得，又 故，当且仅当时，等号成立. 所以.所以面积最大为. 18．【详解】（1）证明：∵为圆的直径，∴，∵平面，平面， ∴，又，∴平面，又平面，． ∵，，∴，又， ∴，又是的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴． （2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，三角形ACM的面积最大，取AC的中点E，M点为EO延长线与圆O的交点． ∴DE∥AP，EM⊥AC，以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 又∵MA＝MC＝AC＝，DE＝PA＝，ME＝3． ∴M（0，3，0），D（0，0，），A（﹣，0，0），C（，0，0）， ∴，，， 设平面MAD的法向量为，则，即， 令 可得， 设平面MCD的法向量为，则，即， 令可得，设面MAD与面MCD所成二面角为，则 ，∴． 19．【详解】（Ⅰ）甲、乙参加游戏，会有4种结果； P 0.4（1﹣p） 0.6（1﹣p） 0.4p 0.6p ξ 0 200 300 500 则P（ξ＞300）＝P（ξ＝500）＝0.6p＝0.24，解得p＝0.4； 所以P（ξ≤200）＝P（ξ＝0）+P（ξ＝200）＝0.4×（1﹣0.4）+0.6×（1﹣0.4）＝0.6； （Ⅱ）都选游戏1时，设赢的人数为X，则X～B（3，0.6）， E（X）＝np＝3×0.6＝1.8； 累计赢取的奖金为J（X）＝1.8×200＝360（元）； 都选游戏2时，设赢的人数为Y，则Y～B（3，0.4）， E（Y）＝np＝3×0.4＝1.2； 累计得到的奖金为J（Y）＝1.2×300＝360（元）； 甲、乙、丙三人都选择游戏1或都选择游戏2，累计得到奖金的数学期望值一样多． 20．【详解】（1）椭圆C的焦距为4，所以c＝2，左焦点F1（﹣2，0），右焦点F2（2，0）， 则PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，则椭圆C的方程为． （2）设PA： ，则，所以 设PB：，则，所以 所以，为方程的两根，即． 设，，联立 有， ，． 同理联立，可得：， 则． 故直线AB的斜率是定值，。 21．【详解】（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，即， 在上恒成立，即在上恒成立上． 设，对求导得 ， , ， 所以在时取得极大值，也是最大值，于是的取值范围是． （2）设的横坐标是（不妨设)， 要证，只需证，即证， 即证， 即证， ，只需证明：， 不妨设，则，所以只需证， 即证，只需证， 因为直线与曲线相交，所以,， 所以 则只需证，即证：，即证（※）， 下面构造函数证明之：因为已设，且由的定义域知，， 所以令，则（※）等价于证明在时恒成立. 为此构造函数，则， 于是当时，，即在上递增， 又，所以在恒成立，即在时恒成立， 则（※）成立，于是原命题成立． 22．【详解】（1）由，得 曲线的直角坐标方程为 由，得 曲线的直角坐标方程为： （2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为 直线的参数方程为（为参数） 代入曲线中，并整理得 设对应的参数分别为，则， 23．【详解】（1）依题意，. 当时，，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即，故无解. 综上所述，不等式的解集为. （2）依题意，，故（*）， 显然时，（*）式不恒成立， 当时，在同一直角坐标系中分别作出的图象如下图所示， 观察可知，，即实数m的取值范围为. - 11 -