2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）.doc

2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 1．集合，，则（ ） A． B．Ü C．Ü D． 【答案】B 【解析】首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】 ， ， 可表示全体整数，表示全体奇数， Ü， 故选：B 【点睛】 本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2．原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 【答案】B 【解析】试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B. 【考点】命题以及命题的真假. 3．已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为(　　) A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【解析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】 ∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2), ∴(+2),=0， 即 即=﹣2 ∴向量在向量方向上的投影为=﹣1， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 4．平面∥平面的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线，∥，∥ B．存在一条直线，⊂，∥ C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥ D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥ 【答案】D 【解析】试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对； 对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对； 对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对； 对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确 【考点】空间线面平行的判定与性质 5．函数零点的个数是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】试题分析：令=0，可得=， 因为，所以在同一平面直角坐标系内，画出y=,y=在[0,8]的图象，观察交点个数即得，选C。 【考点】本题主要考查函数零点的概念，对数函数、正弦函数的图象。 点评：简单题，令 6．已知函数（，为常数，，）在处取得最大值，则函数是（ ） A．奇函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于对称 D．偶函数且它的图象关于对称 【答案】A 【解析】首先根据已知可得，然后根据正弦函数的图像与性质得到 ，再化简函数，从而求解问题. 【详解】 ，在处取得最大值， ， 则，， ， 奇函数且它的图象关于点对称. 故选：A 【点睛】 本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 7．已知函数的图象连续且在上单调，又函数的图象关于轴对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2019项之和为（ ） A．0 B．2019 C．4038 D．4040 【答案】C 【解析】由函数的图象关于轴对称，平移可得的图像关于对称，由题意可得，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】 函数的图象关于轴对称，且函数的图象连续且在上单调， 可得的图像关于对称， 由数列是公差不为0的等差数列，且， 可得，又是等差数列， 可得， 所以的前2019项之和为 故选：C 【点睛】 本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前项和，需熟记公式与性质，属于基础题. 8．函数在上的单调减区间为（ ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】B 【解析】利用二倍角公式将函数化为，进而可得 ，根据，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 ， 令 ，由，则 所以，在上单调递增，在单调递减 又在上单调递减，在上单调递增，此时， 利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减； 在上单调递减，在上单调递增，此时， 利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减； 故选：B 【点睛】 本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题. 9． 函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－,] B．[－,0] C．[0,1] D．[0,] 【答案】C 【解析】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C. 点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合. 10．已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得，从而得中点的轨迹方程. 【详解】 设中点为， 圆心角等于圆周角的一半，， ， 在直角三角形中，由， 故中点的轨迹方程是：， 如图，由的极限位置可得，. 故选：D 【点睛】 本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题. 11．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，因此 ，选A. 【考点】双曲线离心率 【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略 求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键． 12．若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是 A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段 【答案】A 【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值， 因为.成等差数列， 所以. ∴为定值， 所以点的轨迹是平行的线段． 【考点】等差数列的性质；抛物线的定义． 点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值． 二、填空题 13．在区间上分别任取两个数，，若向量，，则满足的概率是______ . 【答案】 【解析】由已知向量的坐标求出满足的所满足的条件，结合，数形结合得出答案. 【详解】 由，，得 由，得， 即，满足， 作出图像如图： 圆的面积为，正方形的面积为. 则的概率是 . 故答案为： 【点睛】 本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______. 【答案】 【解析】由等差数列的性质，，结合等差数列的前项和公式得到，在中取即可得出答案. 【详解】 数列、为等差数列，且前项和分别为和， 则，且， 又，， 所以. 故答案为： 【点睛】 本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．已知随机变量，，若，，则__________． 【答案】 【解析】∵随机变量服从，∴，解得：. 又，∴ 故答案为：0.1 16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，当取最大值时，角的值为______. 【答案】 【解析】利用正弦定理以及二倍角公式将化为，再由两角和与差的公式将式子化为，由此可得，代入的展开式，利用基本不等式即可求解. 【详解】 由， ， ， ， ， ， ， 即， ，由三角形为锐角三角形， 所以， 当且仅当，即，取等号 故答案为： 【点睛】 本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 三、解答题 17．已知数列满足：，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由可化为，令，推出，根据的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解. 【详解】 （Ⅰ）由可化为. 令，则，即. 因为，所以， 所以， 即，故. （Ⅱ）由， 可知， 两式作差得， 即. 又当时，也满足上式， 故. 【点睛】 本题考查了由递推关系式求通项公式以及与的关系，属于中档题. 18．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率； （2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）∴;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望. 试题解析：（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件．则，， ∴． （2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是， 则分布列为 0 1 2 3 4 ∴． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差. 19．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点. （Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）设，求二面角大小的取值范围. 【答案】（Ⅰ）平面，证明见解析；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）证出平面，由线面平行的性质定理可证出，再由线面平行的判定定理即可求解. （Ⅱ）法一：证出是二面角的平面角，，根据的范围即可求解. 法二：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （Ⅰ）证明如下： ∵，平面，平面， ∴平面. 又平面，平面与平面的交线为， ∴. 而平面，平面， ∴平面. （Ⅱ）解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结，. 由（Ⅰ）知，，而，∴. ∵平面，∴. 而，∴平面， 又∵平面，∴， ∴是二面角的平面角. . 注意到，∴，∴. ∵，∴， 即二面角的取值范围是. 解法二：由题意，，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，则，，， ，. 设平面的法向量为， 则由得，取得. 易知平面的法向量， 设二面角的大小为，易知为锐角， ， ∴， 即二面角的取值范围是. 【点睛】 本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题. 20．已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，， 【解析】（Ⅰ）设，，根据点，都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解. （Ⅱ）设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，从而求出直线的方程，再由过点与垂直的直线为，求出，两方程联立，消去，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在. 设，，由于点，都在椭圆上， 所以①，②， ①-②，化简得③ 又因为离心率为，所以. 又因为直线过焦点，线段的中点为， 所以，，， 代入③式，得，解得. 再结合，解得，， 故所求椭圆的方程为. （Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，， 又过点且与椭圆只有一个公共点，所以， 所以：，④ 因为过点且与垂直，所以：，⑤ 联立④⑤，消去，得， 又，所以，从而可得， 所以与的交点在定直线上. 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 21．已知函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围； （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析，理由见解析 【解析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论的取值范围；当时，当时，分析的正负即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论是否在区间内，利用函数的单调性求出函数的最值，使即可解不等式即可. （Ⅲ）法一：设切点为，求出切线方程，从而可得，令，讨论的取值范围，分析函数的的单调性以及在上的零点即可求解； 法二：设切点为，求出切线方程，从而可得，分离参数可得，令，讨论的单调性求出函数的值域，根据值域确定的范围即可求解. 【详解】 （Ⅰ）函数的定义域为，. （1）当时，恒成立，函数在上单调递增； （2）当时，令，得. 当时，，函数为减函数； 当时，，函数为增函数. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为. 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， （1）当时，即时，函数在区间上为增函数， 所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零； （2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以. 依题意有，解得，所以. （3）当时，即时，在区间上为减函数， 所以. 依题意有，解得，所以. 综上所述，当时，函数在区间上恒大于零. 另解：当时，显然恒成立. 当时，恒成立恒成立的最大值. 令，则，易知在上单调递增， 所以最大值为，此时应有. 综上，的取值范围是. （Ⅲ）设切点为，则切线斜率， 切线方程为. 因为切线过点，则. 即.① 令，则. （1）当时，在区间上，，单调递增； 在区间上，，单调递减， 所以函数的最大值为. 故方程无解，即不存在满足①式. 因此当时，切线的条数为0. （2）当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增， 所以函数的最小值为. 取，则. 故在上存在唯一零点. 取，则. 设，，则. 当时，恒成立. 所以在单调递增，恒成立. 所以. 故在上存在唯一零点. 因此当时，过点存在两条切线. （3）当时，，显然不存在过点的切线. 综上所述，当时，过点存在两条切线； 当时，不存在过点的切线. 另解：设切点为，则切线斜率， 切线方程为. 因为切线过点，则， 即. 当时，无解. 当时，， 令，则， 易知当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，且， 故当时有两条切线，当时无切线， 即当时有两条切线，当时无切线. 综上所述，时有两条切线，时无切线. 【点睛】 本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题. 22．已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）. (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ). 【解析】试题分析： (Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值． 试题解析： （Ⅰ）证明：依题意，，，， 则． （Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，， 故两点的直角坐标为，. 所以经过点的直线方程为， 又直线经过点，倾斜角为， 故，． 23．已知函数. (Ⅰ)若，求实数的取值范围； (Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】试题分析： （Ⅰ）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得， ∴； ② 当时，不等式化为，解得， ∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴. 综上实数的取值范围是． （Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得， 当时，取得最小值． ∵不等式恒成立， ∴，即， 解得或． ∴ 实数的取值范围是. 第 23 页 共 23 页