2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题（解析版）.doc

2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】化简集合，根据交集的定义，即可求解. 【详解】 因为， ， 所以，所以中元素的个数为3. 故选:B. 【点睛】 本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题. 2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解. 【详解】 由，得， 所以复数z在复平面内对应的点为， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】 本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A．83.5；83 B．84；84.5 C．85；84 D．84.5；84.5 【答案】B 【解析】根据茎叶图，即可求出小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数. 【详解】 解：A小区“空巢老人”年龄的平均数为， B小区“空巢老人”年龄的中位数为. 故选： 【点睛】 本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题. 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简c,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】 因为， 又因为在上单调递增， 且，所以. 故选:D. 【点睛】 本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】 设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为，巧板④可看作是边长为的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形， 其面积为， 故所求的概率. 故选:C. 【点睛】 本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 . 6．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】 . 故选:A. 【点睛】 本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C，再取特殊值，即可求解. 【详解】 由图可知，该函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数， 所以选项C不符合；又因为，所以选项A，B不符合. 故选:D. 【点睛】 本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题. 8．已知向量，，，若，则在上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出的坐标，根据，则得到，的关系式，由计算在上的投影. 【详解】 解：由，，得， 所以，则 得， 所以在上的投影为． 故选：． 【点睛】 本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．-2 B．-6 C．-8 D．-12 【答案】D 【解析】将初始值，代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】 当，不满足条件； 执行第一次循环：，，不满足条件； 执行第二次循环：，，不满足条件； 执行第三次循环：，，不满足条件； 执行第四次循环：，，满足条件； 执行第五次循环：，，满足条件， 退出循环，所以输出S的值为-12. 故选:D. 【点睛】 本题考查循环结构的运算，属于基础题. 10．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F的直线的斜率在之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】 因为双曲线的两条渐近线方程为， 当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时. 直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线的斜率满足，即时， 直线l与双曲线左、右支均相交， 所以. 故选:C. 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题. 11．在如图所示的平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】在中由三角函数求出，在中由余弦定理得，再由基本不等式可得即可求出的最小值. 【详解】 解：在中，因为，，所以. 在中，因为， 所以由余弦定理得， 即， 又由不等式的性质可知，即得， 所以，从而，当且仅当时等号成立. 故选：. 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题. 12．已知函数，，若存在，使不等式成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将转化为关于的二次函数，配方求出的最小值，只需，解关于的不等式，即可得出结论. 【详解】 ，，可化为 .当时，，所以当时，，由题意可知，， 所以，从而得到， 所以或或. 故选:C. 【点睛】 本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题. 二、填空题 13．已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为________. 【答案】 【解析】求导，求出，即可得出结论. 【详解】 由，得， 所以，又，所以切点为， 所以切线方程为，即， 令，得，所以切线在y轴上的截距为-2. 故答案为:-2 【点睛】 本题考查导数的几何意义，属于基础题. 14．已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，即可求解. 【详解】 设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得， 即（）.∵O为线段的中点， N为线段MF的中点，由中位线的性质得， 代入（）式，解得，故其离心率. 故答案为:. 【点睛】 本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题. 15．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________. 【答案】 【解析】由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论 【详解】 设数列的公比为q，由，， 得，所以或， 又因为，所以， 从而， 所以. 令， 又因为，所以. 故答案为:6 【点睛】 本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题. 16．在平面直角坐标系xOy中，圆与x轴，y轴的正方向分别交于点A，B，点P为劣弧AB上一动点，且，当四边形OAQP的面积最大时，的值为___________. 【答案】 【解析】设，因为，所以四边形OAQP为平行四边形，所以，当时取得最大值，即可求出点的坐标，则的值可求. 【详解】 解：如图所示： 则，，因为点P在圆弧上运动， 所以可设，，则， 因为，所以四边形OAQP为平行四边形， 所以， 当时，最大，此时点P与点B重合，点， . 故答案为： 【点睛】 本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题. 三、解答题 17．在数列中，有. （1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，，(2) 【解析】（1）由前项和与通项关系，求出的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明； （2）求出数列的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】 （1）因为， 所以当时，， 上述两式相减并整理，得. 又因为时，，适合上式， 所以.从而得到， 所以， 所以数列为等差数列，且其通项公式为. （2）由（1）可知，. 所以 . 【点睛】 本题考查由数列的前项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前项和，属于中档题. 18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下列联表： 男性 女性 合计 关注度极高 35 14 49 关注度一般 15 36 51 合计 50 50 100 （1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关； （2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率. 附：. 参考数据： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有, （2） 【解析】（1）根据列联表求出，比较数据，即可得结论； （2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解. 【详解】 18.解：（1）， 所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关. （2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为， 所以抽取的7人中有男性5人，女性2人. 记男性5人分别为a，b，e，d，e；女性2人分别为A，B， 从7人中任意选取2人的所有情况有：ab，ac，ad，ae，aA，aB， bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB， 共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以， 所以这2人中至少有一名女性的概率为. 【点睛】 本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题. 19．在如图所示的三棱柱中，底面ABC，. （1）若，证明：； （2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】（1） ， 底面ABC，可证平面，即可求证； （2）取的中点F，连接，可证平面，求出三棱锥，根据等体积法，，求出的面积，即可求解. 【详解】 （1）因为底面ABC，所以， 又，，所以平面， 又平面，所以. （2）设点到平面的距离为d，所以， 由题可知，所有棱长均为2a， 所以在中，，， 所以. 取的中点F，连接，由题易知， 从而得到平面， 所以是点到平面的距离，所以， 又， 所以由等体积法可知， ， 即得， 所以点到平面的距离为. 【点睛】 本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题. 20．在平面直角坐标系xOy中，点满足方程. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）作曲线C关于轴对称的曲线，记为，在曲线C上任取一点，过点P作曲线C的切线l，若切线l与曲线交于A，B两点，过点A，B分别作曲线的切线，证明的交点必在曲线C上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）将方程两边平方化简即得解； （2）求出曲线在处的切线方程，联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，设，，分别求出曲线上在，两点处的切线，的方程，求出，的交点，即可得证. 【详解】 （1）由， 两边平方并化简，得， 即， 所以点M的轨迹C的方程为. （2）由（1）及题意可知曲线：， 又由知， 所以点处的切线方程为， 即， 又因为点在曲线C上， 所以， 所以切线方程为， 联立消去整理得，， 设，， 所以，，（） 又由，得， 所以曲线上点处的切线的方程为， 即， 同理可知，曲线上点处的切线的方程为， 联立方程组， 又由（）式得， 所以，的交点为，此点在曲线C上， 故，的交点必在曲线C上. 【点睛】 本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线综合问题，属于中档题. 21．已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间及极值； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）当时，函数没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点. 【解析】（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解. 【详解】 由题得，函数的定义域为. （1）当时，， 所以， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 所以当时，有极大值， 且极大值为，无极小值. （2）由，得. 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，， 又，所以函数有且只有一个零点； 当时，令， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以的极大值为 ， ①当，即得时， 解得，此时函数没有零点； ②当，即时，函数有1个零点； ③当，即时， . 当时，令， 则在上恒成立， 所以，即， 所以， 故当且时，. 当时，有， 所以函数有2个零点. 综上所述：当时，函数没有零点； 当或时.函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【点睛】 本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方程，再运用 ，，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程； （2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】 （1）因为曲线C的参数方程为 ，（为参数）， 所以曲线C的直角坐标方程为， 即， 将，，， 代入上式得. （2）直线l的参数方程为，（t为参数）， 将代入， 整理得， 设点M，N所对应的参数分别为，， 则，，， 因为，异号， 所以. 【点睛】 本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题. 23．已知函数. （1）当时，解不等式； （2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程； （2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论. 【详解】 （1）当时，不等式，即为， 当时，由，得，所以， 当时，由，得，所以， 当时，由，得，所以， 故不等式的解集为. （2）当时， ， 由，得， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 故实数a的取值范围是. 【点睛】 本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题. 第 20 页 共 20 页