江苏省南京市六校联合体2020届高三上学期一模联考数学试题 Word版含解析.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷 数学Ⅰ试题 2019.12 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2－4x＜0}，则A∩B＝__________． 解：，2，3，，， ，2，． 故答案为：，2，． 2．已知复数，则复数的共轭复数为__________． 解：， 故的共轭复数是： 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为，则应抽取的女学生人数为， 故答案为：80． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为__________． 答案：模拟演示： 解：，；，；，；，此时结束循坏输出 故答案为：15． 5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________． 解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数， 两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为． 故答案为：． 6．若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________． 解：抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线方程为， 则，解得，则，所以双曲线的离心率 故答案为： 7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f (x)＝＋a，a为实数，则f (－4)的值是__________． 解：是定义在上的奇函数，且时， ， 时，， ． 故答案为：． 8．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为__________． 解：，则，所以，即 ，则，所以，即 设等比数列的公比为 故答案为：3 9．已知，若是偶函数，则__________． 解：函数， 所以函数， 由于函数为偶函数， 所以， 解得， 由于，所以当时，． 故答案为：． 10．已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D－ABC的体积是__________． 解：过作于，，，，， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， ． 故答案为． 11．已知实数x，y满足条件xy＋1＝4x＋y且x＞1，则(x＋1)(y＋2)的最小值是__________． 解：，且， ，解得，， ． 取最小值为27． 故答案为：27． 12．若直线上存在相距为2的两个动点A，B，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为__________． 解：根据题意，若为等腰直角三角形，其中为直角顶点且， 则到的距离为， 若圆上存在点，使得为等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离，即有， 解可得：，即的取值范围，； 故答案为：，． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________． 解：由中线长公式可得，则 ，则 在中，，即 所以（当且仅当时取等） 14．已知函数，若不等式恒成立，为奇函数，函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________． 解：若不等式恒成立， 即恒成立， 则△，解得：， 故， 若为奇函数， 则，解得：， 故， 画出函数，的图象，如图所示： 若函数恰有两个零点， 结合图象：，，， 故答案为：，，． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） 已知分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）若，，求边的长； （2）若，求的值． 解：（1）在中，由可知， 由解得， 由余弦定理得， 得，即， 解得． （2）由且，得， 又，则，则， 所以， 所以， 所以 16．（本小题满分14分） E D B 1 A 1 C 1 C B A 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 证明：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，， 所以四边形是平行四边形，且， 所以为中点， 同理为中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以． （2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 17．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：的左、右顶点分别为．已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程； B x y O P A M N l （2）设P是椭圆C上异于 A、B的点，与轴垂直的直线分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值． 解：（1）因为，所以，即， 又点在椭圆上，故，即， 又， 联立方程组，解得， 故椭圆方程为． （2）设P点坐标为（），M,N的横坐标均为， 则直线AP的方程为， 故， 故直线BM的斜率， 同理可得直线AN的斜率， 故， 又因为P点在椭圆上，故有，即， 因此有， 故直线AN与直线BM的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分） 如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile； （1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离； C l B A D 东 北 C l B A D 东 北 （第18题图） （2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围． C l B A D 东 北 （第18题图） 解：（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去）， 过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，C l B A D 东 北 （第18题图） x y O CD=BC， 故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile． （2）由（1）可知,， 以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为， 假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则， 则点T满足方程， 化简得 要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆与圆外离， 故， 整理得135，解得或（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile； （2）当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分） 已知函数，，． （1）求函数的单调增区间； （2）令，且函数有三个彼此不相等的零点，其中． ①若，求函数在处的切线方程； ②若对，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）， 所以， 令 得到， 所以的单调增区间是． （2）由方程得是方程的两实根， 故，且由判别式得， ①若，得，故，得， 因此， 故函数在处的切线方程为． ②若对任意的，都有成立，所以， 因为，所以， 当时，对有， 所以， 解得， 又因为，得，则有； 当时，， 则存在的极大值点，且， 由题意得， 将代入得， 进而得到，得， 又因为，得， 综上可知的取值范围是或． 20．（本小题满分16分） 等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn． （1）求Sn； （2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3k∈{S2，S5，S6}，求数列{bn}的通项公式； （3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式． 解：（1）设{an}公差为d，d＞0， 因为a2＋a3＝，a22＋a32＝， 所以a1＋d＋a1＋2d＝，(a1＋d)2＋(a1＋2d)2＝， 解得a1＝，d＝， 于是Sn＝n＋×＝． （2）{S2，S5，S6}＝{，，} 当q＝1时，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，＝3，舍去； 当q≠1时，Tk＝，T3k＝，所以＝1＋qk＋q2k， 因为q∈N*且q≠1，所以q≥2， 因此≥1＋2＋4＝7， 于是Tk＝，T3k＝， 因此1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3（舍去）， 从而q＝2，k＝1，代入Tk＝得b1＝ 所以bn＝3×2n－2 （3）因为Sn＝为整数项，所以n＝4k或者4k－1，k∈N* 当n＝4k－1，k∈N*时，Sn＝k(4k－1)； 当n＝4k，k∈N*时，Sn＝k(4k＋1)； 因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}， 且k(4k－1)＜k(4k＋1)＜(k＋1)[4(k＋1)－1]＜(k＋1)[4(k＋1)＋1]， 所以当n为奇数时，cn＝(4×－1)×＝； 当n为偶数时，cn＝×(2n＋1)＝； 所以cn＝ 高考资源网版权所有，侵权必究！