北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科 数学试卷 一、选择题 1.的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选C. 考点：诱导公式及运用. 2.设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5＝12，则a1+a2+…+a7＝（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质得到，再计算得到答案. 【详解】数列{an}是等差数列，则； 故选： 【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 ，得 成立；若 ，得 【详解】若 ，得 成立；反之，若 ，得 故选C. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”. 4.定义：，若复数z满足，则z等于（ ） A. 1+i B. 1﹣i C. 3+i D. 3﹣i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定义得到，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知： 故选： 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得． 【详解】集合 解绝对值不等式,可得 集合 解分式不等式,可得 则 故选:B 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题． 6.在同一坐标系内，函数的图象关于（ ） A. 原点对称 B. x轴对称 C. y轴对称 D. 直线y=x对称 【答案】C 【解析】 因为，所以两个函数的图象关于y轴对称，故选C． 7.函数在点P（2，k）处的切线是（ ） A. x﹣2y＝0 B. x﹣y﹣1＝0 C. x﹣2y﹣1＝0 D. 2x﹣2y﹣3＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到，当时，，计算得到切线方程. 【详解】，当时， 故切线方程为： 故选： 【点睛】本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力. 8.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0， 所以（-∞，1）上f（x）是增函数． ∵f（x）=f（2-x）， ∴f（3）=f（2-3）=f（-1） 所以f（-1）＜（0）＜， 因此c＜a＜b． 故选B． 9.已知是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的周期性和奇函数的性质可得出，代入解析式可得出的值. 【详解】由于函数定义在上周期为的奇函数，且当时，， ，故选A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题. 10.设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到，计算得到，代入式子化简得到 ，取或时计算得到答案. 【详解】，则 故 当或时得：或 故选： 【点睛】本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力. 二、填空题 11.函数f（x）的定义域是_____． 【答案】（，0）∪（0，+∞）． 【解析】 【分析】 根据定义域定义得到计算得到答案. 【详解】函数的定义域满足： 故答案： 【点睛】本题考查了函数定义域，意在考查学生的计算能力. 12.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 【答案】 【解析】 解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： 13.已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______. 【答案】 【解析】 由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2， 得＋1＋q＋q2=. 14.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A，B两点的距离 为 m 【答案】 【解析】 由正弦定理得 15.已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题： ①； ②； ③； ④ 其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 【答案】①③． 【解析】 试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有． 考点：导数在求函数极值中的应用 16.设函数f（x）， ①若a＝1，则f（x）的最小值为_____； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 (1). ﹣1 (2). a＜1，或a≥2． 【解析】 【分析】 ①分别计算和的最小值，比较得到答案. ②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），讨论有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案 【详解】①当a＝1时，f（x）， 当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1， 当x1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1， 当1＜x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增， 故当x时，f（x）min＝f（）＝﹣1，故最小值为 ②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）与x轴有一个交点， 所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2， 而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以a＜1， 若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点， 则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点， 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，满足题意的 综上所述：a的取值范围是a＜1，或a≥2． 故答案为：-1；a＜1，或a≥2． 【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 三、解答题 17.已知：{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列． （1）求数列{an}通项公式； （2）令bn＝log2a3n+1，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N（2）Tn＝（n2+n） 【解析】 【分析】 （1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案. （2）计算得到，直接利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】（1）{an}是公比q大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，可得a1（1+q+q2）＝7，① a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，② 由①②可得a1＝1，q＝2，则an＝2n﹣1，n∈N*； （2）， 数列{bn}的前n项和Tn＝3（1+2+…+n）＝3n（n+1）（n2+n）． 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用. 18.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． 【答案】（1）；（2）；（3）图象见解析. 【解析】 【详解】解：（1）∵，∴． ∵，∴． （2）．由 得函数的单调增区间为． （3）由知 0 0 1 0 故函数在区间上的图象如图所示． 19.已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值. 【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大 【解析】 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x， f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 20. 在中，内角对边分别是，若 （1）当求角的度数；（2）求面积的最大值． 【答案】（1）（2）3. 【解析】 【详解】解：（1） ．．．．．．．．．．．5分 （2） 得， 所以面积的最大值为．．．．．．．．．．．．．12分 21.某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】 （1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案. （2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意，每件售价为150%50%， 则 ， 则当x＝100时，w0，故企业亏损． （2） （当且仅当x＝7时等号成立）． 故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大． 【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22.已知：函数f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R． （1）若f（1）＝2，求函数f（x）的最大值； （2）若a＝﹣1，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：． 【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）计算得到，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案. （2）代入数据得到，得到，设得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，计算得到答案. 【详解】（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x， ∴f'（x）2x+3， 由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2， ∴f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数， ∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2； （2）证明：当a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x， ∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0， ∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2）， 令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1， 由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1， ∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， ∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2， ∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0， 解得：． 【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数是解题的关键. 高考资源网版权所有，侵权必究！