【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题.doc

数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）[来源:学&科&网Z&X&X&K] 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若集合，且，则集合可能是（ ） A． B． C． D． 2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ） A． B． C． D． 5. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ） A． B． C． D． 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7. 为了得到，只需将作如下变换（ ） A． 向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 8. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过 中的那部分区域的面积为（ ）[来源:ZXXK] A． B． C． D． 9. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 10. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为 （ ） A． 个 B．个 C． 个 D． 个 12. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上增减函数 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的展开式中项的系数为 ． 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 ． 15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 ． [来源:ZXXK] 16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的. （1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）; （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）. 18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面 平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角的余弦值. [来源:] 19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示： [来源:] 且的数学期望,求的值; （2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望； （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”； ②“性价比”大的产品更具可购买性. 20. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切. （1）求椭圆的方程; （2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标； (3) 在(2) 的条件下求面积的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数(常数). （1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点; （2）若函数存在两个极值点,证明:. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上. （1）若,求的值; （2）若,证明:. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为: 为参数), 曲线的极坐标方程为:. （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; （2）设直线与曲线相交于两点, 求的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式; （2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围. 河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理） 试题参考答案 一、 选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意. ADCBA DCDCB DB 二、 填空题：每题5分，共20分. 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.本题满分12分 解：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为 （2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万 新政策实施到年年人口均值为 故到年不需要调整政策． 18．本题满分12分 解：（1）连接，交于点，连接，则平面 证明：为中点，为中点 为的中位线， 又平面平面 平面平面=,平面, 平面 ， 又， 平面 所以平面 （2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系， 平面PEA 平面PEA的法向量 另外，， ，,设平面DPE的法向量，则 ，令，得 又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 19．本题满分12分 解：（1） ，即 ① 又由 的概率分布列得 ② 由① ② 得 （2）由已知得，样本的频率分布表如下： 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 所以， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为 因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。 20．本题满分12分 解：（1）由题意 即 （2）设， 由得 同理 i) 时， 过定点 ii) 时过点过定点 （3）由（2）知 令时取等号时去等号， 21．本题满分12分 解：依题意， 令，则. （1）①当时，，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点； ②当时，由，故在 单调递增. 又，， 所以在有且只有一个零点. 3分 又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，， 所以函数在有且只有一个极值点. 综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分 （2）因为函数存在两个极值点（不妨设）， 所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 令得 ； 令 得； 令得. 所以在单调递增，在单调递减， 6分 又因为， 所以必有. 令，解得， 8分 此时 . 因为是的两个零点， 所以，. 将代数式视为以为自变量的函数 则 . 当时，因为，所以， 则在单调递增. 因为，所以， 又因为，所以. 当时，因为，所以， 则在单调递减， 因为，所以. 综上知，且．． 12分 22.本题满分10分 （1）解：因为 四点共圆；,又,又. （2）,又, 又因为 四点共圆；. 23．本题满分10分 解：(1) ., 由,得, 所以曲线的直角坐标方程为,由,消去解得：.所以直线l的普通方程为. (2)把 代入, 整理得 , 设其两根分别为 ，则 . 24、本题满分10分 解析： （1）由得 ， ，解得 ． 所以原不等式的解集为. （2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立 所以 ， 有，当且仅当时, 取等号,,所以从而 或. 所以 实数的取值范围.