【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三下学期第7周周考理数试题.doc

2017-2018届高三数学下学期理科数学 周日测试7 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．记复数的虚部为，已知复数，（为虚数单位），则为（ ） A．2 B．3 C． D．-3 3．已知命题：“对任意，都有”，则命题的否定是（ ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．对任意，都有 D．存在，使得 4．下列函数：，，，在上是增函数且为偶函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D． 6．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足：，且当时，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（ ） A． B． C． D． 11．已知在中，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数的定义域为（其中），则“在和上分别单调递增” 是“在上为增函数”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 14．已知函数.若，则实数的最小值为 ． 15．设函数是定义在上的可导函数，且满足条件，则不等式的解集为 ． 16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为．若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列的前项和，其中． （1）证明是等比数列，并求其通项公式； （2）若，求． 18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ （2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择． ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率； ②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望． 19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 20． 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由； （3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 21． 已知函数（且） （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，设函数，函数， ①若恒成立，求实数的取值范围； ②证明： 22．在直角坐标系中，圆的方程为. （1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求直线的斜率. 23．选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为． （1）求的最大值； （2）已知，，，且，求的最小值及此时的值． 附加题： 1.已知数列的前项和为，点在直线上. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和为，并求使不等式对一切都成立的最大正整数 的值． 2． 已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为，轴正半轴上的某点满足. （1）求椭圆的方程； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，求证：的周长是定值． 2017-2018届高三数学下学期理科数学 周日测试7 参考答案 一、选择题 1-5:ADBAC 6-10:CABCB 11、12：CD 二、填空题 13．必要不充分 14．3 15． 16． 三、解答题 17．【答案】（1）； （2）． 18．解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为. （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有、、、、、，共6种，由古典概型概率计算公式得． ②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． ， ， 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1 所以. 19．解：（1）由于平面平面， 为等边三角形， 为的中点，则， 根据面面垂直性质定理，所以平面， 又平面，则． （2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ,,,,， 由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为， 设平面的法向量， ,,,,,, 则，二面角的余弦值， 由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为． 20．解：（1）∵左顶点为 ∴又∵∴ 又∵∴椭圆的标准方程为． （2）直线的方程为，由消元得 化简得， ，则 当时， ， ∴ ∵点为的中点 ∴点的坐标为，则. 直线的方程为，令，得点的坐标为， 假设存在定点使得,则， 即恒成立，∴恒成立 ∴即 ∴定点的坐标为. （3）∵∴的方程可设为， 由得点的横坐标为 由，得， 当且仅当即时取等号， ∴当时， 的最小值为． 21．解：（1）∵，令． 当时，解得；当时，解得， 所以时函数的单调递增区间是； 时函数的单调递增区间是 （2）①∵，由题意得， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴ 由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）． ②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立， ∴，令，累加可得 即 22．解：（1）整理圆的方程得， 由可知圆的极坐标方程为． （2）记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知： ， 即，整理得，则． 23．解：（1）因为 当,或时取等号， 令，所以，或． 解得，或 ∴的最大值为1 （2）由（1）． 由柯西不等式，， ∴，等号当且仅当，且时成立． 即当且仅当，，时，的最小值为． 附加题 1．解：（1）由题意，得 故当时， 当时，,所以. （2）. 所以 由于，因此单调递增， 故.令，得，所以. 2.（1）设点的坐标为,可知, . 因此椭圆的方程是. （2）设,则, , ∵,∴, 在圆中, 是切点, ∴, ∴, 同理,∴, 因此的周长是定值． ADBAC CABCB CD 12【答案】D 【解析】设与在公共点处的切线相同， ，由题意，即，由得或（舍去），即有 ，令，则，于是当，即时， ；当，即时， ，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为，故的最大值为，故选D. 13-16 必要不充分 3 17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ． 18、解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为. （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得． ②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． ， ， 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1 所以. 19（1）由于平面平面， 为等边三角形， 为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面，又平面，则． （2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为． 20．（1）（2）（3）． （1）∵左顶点为 ∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为． （2）直线的方程为，由消元得 化简得， ，则 当时， ，∴ ∵点为的中点 ∴点的坐标为，则. 直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立 ∴即 ∴定点的坐标为. （3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为 由，得 ，当且仅当即时取等号， ∴当时， 的最小值为． 21解：（1），令． 当时，解得；当时，解得， 所以时函数的单调递增区间是； 时函数的单调递增区间是 （2）①，由题意得， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）． ②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立， ，令，累加可得 即 22（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为． ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知： ， 即，整理得，则． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解： （Ⅰ）因为|x－3|＋|x－m|≥|(x－3)－(x－m)|＝|m－3| …2分 当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号， 令|m－3|≥2m，所以m－3≥2m，或m－3≤－2m． 解得m≤－3，或m≤1 ∴m的最大值为1 …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）a＋b＋c＝1． 由柯西不等式，(＋＋1)( 4a2＋9b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， …7分 ∴4a2＋9b2＋c2≥，等号当且仅当4a＝9b＝c，且a＋b＋c＝1时成立． 即当且仅当a＝，b＝，c＝时，4a2＋9b2＋c2的最小值为． 1.解：（Ⅰ）由题意，得 …………1分 故当时， …………4分 当n=1时，, 所以 . …………5分 （Ⅱ）. …………6分 所以.…8分 由于，因此单调递增， …………9分 故.令，得，所以. …………12分 (1)设点G的坐标为,可知, . 因此椭圆的方程是. (2)方法1:设,则, =, ∵,∴, 在圆中, 是切点, ∴==, ∴, 同理,∴, 因此△的周长是定值． 方法2:设的方程为, 由,得, 设,则, ∴== = , ∵与圆相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周长是定值．