2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）（解析版）.doc

2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科） 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（　　） A．2 B． C． D． 4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（　　） A． B． C． D．或 6．已知，则tan2α=（　　） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．11 8．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　） A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D． 9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　） A． B． C． D． 10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（　　） A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5） 11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2] 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知，则的值是　 　． 14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　 　种． 15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　 　． 16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为　 　． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn． 18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点． （I）求证：BE∥平面ACF； （II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角． 19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人． 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一） 年龄 频数 频率 男 女 [0，10） 10 0.1 5 5 [10，20） ① ② ③ ④ [20，30） 25 0.25 12 13 [30，40） 20 0.2 10 10 [40，50） 10 0.1 6 4 [50，60） 10 0.1 3 7 [60，70） 5 0.05 1 4 [70，80） 3 0.03 1 2 [80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 （1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数． （2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？ （3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列 （表二） 50岁以上 50岁以下 合计 男生 　 　 　 　 　 　 女生 　 　 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 　 　 P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d） 20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N． （ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2； （ⅱ）求证：线段MN的长为定值． 21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R） （1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值； （2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由． 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）． （I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R （Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3； （Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围． 　 2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【考点】18：集合的包含关系判断及应用． 【分析】解出集合Q，再根据P⊆Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数； 【解答】解：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}， ∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P⊆Q， 又Q的子集的个数为23=8， ∴P的个数为8， 故选D； 　 2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数==i﹣2的虚部为1． 故选：B． 　 3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】根据平均数公式先求出a，再计算它们的方差． 【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是 ×（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1， 根据方差计算公式得 s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2． 故选：A． 　 4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论． 【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2， ∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0， 则c=2a，b=， ∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为， ∴d=， 即， 解得c=2， 则焦距为2c=4， 故选：C 　 5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（　　） A． B． C． D．或 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】依题意，三条直线围成一个直角三角形，可能会有两种情形，分别计算两种情形下三角形的顶点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可． 【解答】解：有两种情形： （1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直，则k=﹣， 三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（，）， 三角形的面积为s=×1×=； （2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直，则k=0， 三角形的三个顶点为（0.0），（0，1），（，1）， 三角形的面积为s=×1×=． ∴该三角形的面积为或． 故选：D． 　 6．已知，则tan2α=（　　） A． B． C． D． 【考点】GU：二倍角的正切． 【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解． 【解答】解：∵， ∴，化简得4sin2α=3cos2α， ∴， 故选：C． 　 7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．11 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可． 【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1， 第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2， 第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3， 第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4， 第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93， 跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4， 故选：A 　 8．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　） A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D． 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得． 【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°， 在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a， ∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6， 从而得a=1， ∵BD∥FG， ∴=求得p=， 因此抛物线方程为y2=3x． 故选C． 　 9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误． 【解答】解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足； 且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥 A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥 设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥 B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥， 根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥 故选D 　 10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（　　） A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5） 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】由题意求得cosA=﹣，再由余弦定理，得出关于﹣的方程， 构造函数，利用函数零点的判断方法得出cosA的取值范围． 【解答】解：△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1， ∴c=b=2，﹣acosA=1， cosA=﹣＜0，且4＞a＞2； 由余弦定理得，cosA==， ∴﹣=， 化为：8•﹣8•+1=0， 令﹣=x∈（﹣，﹣）， 则f（x）=8x3﹣8x2+1=0， ∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）=0.064＞0， ∴cosA∈（﹣0.4，﹣0.3）． 故选：A． 　 11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】3O：函数的图象． 【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案． 【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2+x+1， 则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1） =（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）， ∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0， ∵sgn（x）=， ∴sgn（f（1））=0，可排除A，B； 又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C， 故选D． 　 12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围． 【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0， 则函数y=丨f（x）丨单调递增， 当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤， 当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣， 解得：x=ln， 由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞）， 故ln≤1，解得：﹣≤a＜0， 综上可知：a的取值范围为[﹣，]， 故选B． 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知，则的值是　（）2018　． 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】利用二项式定理，对等式中的x赋值﹣2，可求得a0=0，再令x=，即可求出答案． 【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018， ∴令x=﹣2，得a0=0 再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018， ∴=， 故答案为：（）2018， 　 14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　18　种． 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，由排列数公式可得其排法数目，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，若A，E种的植物不同；由加法原理可得D、E区域的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同， 将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况， ②、对于D、E区域，分2种情况讨论： 若A，E种的植物相同，则D有2种种法， 若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法， 则D、E区域共有2+1=3种不同情况， 则不同的种法共有6×3=18种； 故答案为：18． 　 15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　8　． 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值． 【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2， 要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点， 考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12， 按下图取值即可满足条件， ∴m的最小值为8． 故答案为：8． 　 16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为　　． 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，AD=1，可得四面体ABCD的外接球的半径==，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积． 【解答】解：由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为， ∵AD=1，∴四面体ABCD的外接球的半径==， ∴四面体ABCD的外接球的表面积为=， 故答案为：． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性；8H：数列递推式． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn， ∴Sn==n2﹣n+na1， ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴， ∴，化为，解得a1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==． ∴Tn=﹣++…+． 当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=． 当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=． ∴Tn=． 　 18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点． （I）求证：BE∥平面ACF； （II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF． （II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可． 【解答】解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点． 因为F为DE的中点，所以OF∥BE． 因为BE⊄平面ACF，OF⊂平面AFC， 所以BE∥平面ACF． （II）因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以AE⊥CD． 因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD． 因为AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE， 所以CD⊥平面DAE． 因为DE⊂平面DAE，所以DE⊥CD． 所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）． 因为AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE， 所以AE⊥CD． 因为AE=DE=2，所以． 因为四边形ABCD为正方形， 所以， 所以． 由四边形ABCD为正方形， 得==（2，2，2）， 所以． 设平面BEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），又知=（0，﹣2，﹣2），=（1，0，0）， 由，可得， 令y1=1，得， 所以． 设平面BCF的一个法向量为=（x2，y2，z2），又知=（﹣2，0，﹣2），=（1，﹣2，0）， 由，即：． 令y2=1，得， 所以． 设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ， 又cos===． 则． 所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为． 　 19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人． 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一） 年龄 频数 频率 男 女 [0，10） 10 0.1 5 5 [10，20） ① ② ③ ④ [20，30） 25 0.25 12 13 [30，40） 20 0.2 10 10 [40，50） 10 0.1 6 4 [50，60） 10 0.1 3 7 [60，70） 5 0.05 1 4 [70，80） 3 0.03 1 2 [80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 （1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数． （2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？ （3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列 （表二） 50岁以上 50岁以下 合计 男生 　5　 　40　 　45　 女生 　15　 　40　 　55　 合计 　20　 　80　 　100　 P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d） 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验． 【分析】（1）由频率分布表的性质能完成表（一），从而能完成频率分布直方图，进而求出30岁以下频率，由此以频率作为概率，能估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数． （2）完成表格，求出K2=≈4.04＜5.024，从而得到没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关． （3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列． 【解答】解：（1）完成表（一），如下表： 年龄 频数 频率 男 女 [0，10） 10 0.1 5 5 [10，20） 15 0.15 7 8 [20，30） 25 0.25 12 13 [30，40） 20 0.2 10 10 [40，50） 10 0.1 6 4 [50，60） 10 0.1 3 7 [60，70） 5 0.05 1 4 [70，80） 3 0.03 1 2 [80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 完成频率分布直方图如下： 30岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5， 以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为：12000×0.5=6000． （2）完成表格，如下： 50岁以上 50岁以下 合计 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 K2==≈4.04＜5.024， 所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关． （3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2 P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==． ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 　 20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N． （ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2； （ⅱ）求证：线段MN的长为定值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其即可得出； （Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明； （ii）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径． 【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为． ∴，， ∴=1， ∴椭圆方程为， ∴准圆方程为x2+y2=4． （Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2）， 设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2， 联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0． ∵直线y=kx+2与椭圆相切， ∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1， ∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2． ∵， ∴l1⊥l2． （ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在， 则l1：， 当l1：时，l1与准圆交于点， 此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直； 同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中． 设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0， ∴由 得． 由△=0化简整理得， ∵，∴有． 设l1，l2的斜率分别为t1，t2， ∵l1，l2与椭圆相切， ∴t1，t2满足上述方程， ∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直． 综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直． ∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4， ∴线段MN的长为定值． 　 21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R） （1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值； （2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由． 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b． （2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解． 【解答】解：（1）因为：（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b 所以 解得：a=2，b=﹣2ln2… （2）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；… 当a＜0时，在（0，+∞）上恒成立， 所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵，，所以方程有惟一解．… 当a＞0时， 因为当时，f'（x）＞0，f（x）在内为减函数； 当时，f（x）在内为增函数． 所以当时，有极小值即为最小值… 当a∈（0，e）时，，此方程无解； 当a=e时，．此方程有惟一解． 当a∈（e，+∞）时，， 因为且，所以方程f（x）=0在区间上有惟一解， 因为当x＞1时，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1， 所以，， 因为 ，所以， 所以 方程f（x）=0在区间上有惟一解． 所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解． … 综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解； 当a＜0或a=e时，方程有惟一解； 当a＞e时方程有两解． … 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）． （I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；O7：伸缩变换． 【分析】（I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切． （II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，从而点M的参数方程为（θ为参数），由此能求出的取值范围． 【解答】解：（I）∵直线l的参数方程为（t为参数）． ∴消去数t，得直线l的一般方程为， ∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12， ∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2， 得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1． ∵圆心（2，3）到直线l的距离d==r， ∴直线l和曲线C相切． （II）曲线D为x2+y2=1． 曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为， 则点M的参数方程为（θ为参数）， ∴， ∴的取值范围为[﹣2，2]． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R （Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3； （Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围． 【考点】R2：绝对值不等式． 【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可； （Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1﹣2m大于等于不等式左侧的最小值即可． 【解答】解：（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3，2≤x≤8， ∴解集为{x|2≤x≤8}； （II）当a=1时，f（x）=|x﹣1|， 令， 由图象知：当时，g（x）取得最小值，由题意知：， ∴实数m的取值范围为． 　 2017年7月23日