北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 2020. 01 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，，则集合是 （A） （B） （C） （D） （2）抛物线的焦点坐标为 （A） （B） （C） （D） （3）下列直线与圆相切的是 （A） （B） （C） （D） （4）已知，且，则 （A） （B） （C） （D） （5）在的展开式中，的系数为 （A） （B） （C） （D） （6）已知平面向量满足，且，则的值为 （A） （B） （C） （D） （7）已知, , 是三个不同的平面，且，，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知等边△边长为3. 点D在BC边上，且，. 下列结论中错误的是 （A） （B） （C） （D） （9）声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A）倍 （B）倍 （C）倍 （D）倍 （10）若点为点在平面上的正投影，则记. 如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，. 给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得∥平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 （A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）①② 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （11）在等差数列中， ，，则_________. （12）若复数，则=_________. （13）已知点A，点,分别为双曲线 的左、右顶点. 若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. （14）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. （15）用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 则_________，_________. （16）已知曲线C：（为常数）. （i）给出下列结论： ①曲线C为中心对称图形； ②曲线C为轴对称图形； ③当时，若点在曲线上，则或. 其中，所有正确结论的序号是 . （ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是 .（写出一个即可） 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （17）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. （18）（本小题共13分） 如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. （19）（本小题共13分） 某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据： 小区 指标值 权重 A小区 B小区 C小区 教育与文化（0.20） 0.7 0.9 0.1 医疗与养老（0.20） 0.7 0.6 0.3 交通与购物（0.32） 0.5 0.7 0.2 休闲与健身（0.28） 0.5 0.6 0.1 注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数，其中为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）. 现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [0,0.2） [0.2,0.4） [0.4,0.6） [0.6,0.8） [0.8,1] 频数 10 20 30 30 10 （Ⅰ）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由； （Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望. （20）（本小题共14分） 已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点，，直线和分别与直线交于点,．求△与△面积之和的最小值. （21）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于. （22）（本小题共14分） 给定整数，数列每项均为整数，在中去掉一项, 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将中的最小值称为数列的特征值. （Ⅰ）已知数列，写出的值及的特征值； （Ⅱ）若，当，其中且 时，判断与的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值. 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数 学 2020.01 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A A B C B D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 11 12 13 14 15 16 答案 0 2 ； ① ②③；均可 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （17）解：（Ⅰ） . 因为的单调递增区间为， 令， 得. 所以的单调递增区间为. （Ⅱ）方法1：因为， 所以. 又因为，的最大值为1， 所以. 解得. 所以的最小值为. 方法2：由（Ⅰ）知： 当且仅当时，取得最大值1. 因为在区间上的最大值为， 所以. 所以的最小值为. （18）解：（Ⅰ）在△中，M，N分别为VA，VB的中点， 所以为中位线. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）在等腰直角三角形△中，, 所以. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 又因为平面， 所以. （Ⅲ）在平面ABC内过点C做垂直于AC， 由（Ⅱ）知，平面， 因为平面， 所以. 如图,以为原点建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则 即 令则，, 所以. 直线与平面所成角大小为， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. （19）解：（Ⅰ）方法1: A小区的指数， ,所以A小区不是优质小区; B小区的指数， ,所以B小区是优质小区; C小区的指数， ,所以C小区不是优质小区. 方法2: A小区的指数 ,所以A小区不是优质小区; B小区的指数 . B小区是优质小区; C小区的指数 . C小区不是优质小区. （在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分） （Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区个，其它小区个. 依题意ξ的所有可能取值为0，1，2. ； ； . 则的分布列为： . （20）解：（Ⅰ）解：依题意，得 解得， 所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）设点，依题意，点坐标为， 满足（且）, 直线的方程为 令，得，即. 直线的方程为 ，同理可得. 设为与轴的交点. . 又因为，, 所以. 当且仅当取等号，所以的最小值为. （21）解：（Ⅰ）由已知得， 因为 ，， 所以直线的方程为. （Ⅱ）（i）当时，， 所以（当且仅当且时，等号成立）. 所以在上是单调递增函数. 所以在上无极小值. （ii）当时,一元二次方程的判别式， 记是方程的两个根，不妨设. 则 所以. 此时，随的变化如下： 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的极小值为. 又因为在单调递增， 所以. 所以的极小值为小于. 22. 解：（Ⅰ）由题知： ; ; . 的特征值为1. （Ⅱ）. 理由如下： 由于，可分下列两种情况讨论： 当时， 根据定义可知： 同理可得： 所以. 所以. 当时，同理可得： 所以. 所以. 综上有：. （Ⅲ）不妨设， ， 显然，， . 当且仅当时取等号； 当且仅当时取等号； 由（Ⅱ）可知的较小值为， 所以. 当且仅当时取等号， 此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 . 下证：若，，总有. 证明： = . 所以. 因此 . 当时， 可取到最小值，符合题意. 所以的最小值为. - 13 - 版权所有@高考资源网