2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测数学（文）试题（解析版）.doc

2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简集合，按交集的定义，即可求解. 【详解】 ， . 故选:B 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据双曲线的渐近线公式，即可求解. 【详解】 双曲线的渐近线方程是. 故选:D 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 3．若“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对分类讨论，当，本等式恒成立；当，根据不等式恒成立，结合二次函数，可得出关于的不等式关系，即可得出结论. 【详解】 当时，本等式为，恒成立，满足题意； 当时，，， 需，解得. 综上，. 故选:C 【点睛】 本题考查不等式恒成立，转化为二次函数有关问题，考查分类讨论思想，属于基础题. 4．已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解. 【详解】 ， 整理得. 故选:A 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，属于基础题. 5．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，化简，利用指数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】 ，，， 在上是增函数，所以， . 故选:A 【点睛】 本题考查比较数的大小，考查函数的单调性，属于基础题. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据循环结构，算出时，的值，即可求出结论. 【详解】 满足，退出循环体，所以条件语句是 故选:C 【点睛】 本题考题循环结构中的条件语句，属于基础题。 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为（ ） A．12里 B．24里 C．36里 D．48里 【答案】B 【解析】该人从第一天起每天走得路程成等比数列，且公比为，前6和为378，求出首项，得到通项公式，即可求解. 【详解】 该人从第一天起每天走得路程记为， 则是公比为的等比数列， ， 解得，. 故选:B 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和以及通项公式的基本运算，属于基础题. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三视图还原成空间图形，该几何体为直三棱柱与半个圆锥的组合体，根据体积公式，即可求解. 【详解】 由三视图可得，该几何体是直三棱柱与半个圆锥的组合体， 其中三棱柱的底面是等腰三角形且面积为2，侧棱长为4， 半个圆锥底面半径为1，高为2， 该几何体的体积为. 故选:D 【点睛】 本题考查几何体的三视图求几何体的体积，解题的关键要确定几何体的结构特征，属于基础题. 9．定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，求出的解析式，分段解不等式，即可得出结论. 【详解】 当时，， 等价于，或， 解得或. 故选:C 【点睛】 本题考查求分段函数的解析式以及解对数不等式，属于基础题. 10．已知函数的图像关于点对称，将函数的图像向左平移单位长度后得到函数的图像，则的一个单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】应用诱导公式和二倍角公式，化简，结合已知条件求出，再由正弦函数的图像变换关系，求出，求出其单调减区间，即可求解. 【详解】 关于对称， ，，， 的图像向左平移单位长度后得到函数的图像， 的递减区间需满足， ， 解得. 故选:B 【点睛】 本题考查三角函数的化简，对称性，图像变换，以及函数的单调性，属于中档题. 11．已知函数，若，则函数极值点个数为（ ） A．0或1 B．0或2 C．1或2 D．不确定 【答案】C 【解析】求，求变号根的个数，即可求解. 【详解】 ，令，或， 当时，舍去， 经验证为极值点，此时函数有1个极值点； 当， 经检验和为极值点， 此时函数有2个极值点. 综上：函数极值点个数为1个或2个. 故选:C 【点睛】 本题考查函数的极值点，考查分类讨论，属于中档题. 12．已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以为圆心，为半径的圆交轴负半轴于点.平行于的直线与抛物线相切于点，设，两点的横坐标分别为和，则（ ） A．-4 B．2 C．-2 D．4 【答案】A 【解析】抛物线准线方程为，设，求出以为圆心，为半径的圆方程，求出点.坐标，根据斜率公式，求出的斜率，根据导数的几何意义，求出与抛物线相切于点直线的斜率，利用的斜率与直线相等，即可求解. 【详解】 ，抛物线准线方程为， ，以抛物线焦点为圆心， 为半径的圆方程为， 令或， 点在轴负半轴上，， ， 抛物线相切于点直线的斜率为， 平行于直线，. 故选:A 【点睛】 本题考查抛物线性质，考查圆与直线的交点，以及应用导数的几何意义求切线的斜率，是一道综合题. 二、填空题 13．若，则______. 【答案】 【解析】求出，再根据复数除法法则，即可求解, 【详解】 . 故答案为: 【点睛】 本题考查共轭复数，以及复数代数运算，属于基础题. 14．若，满足约束条件，则的最小值为______. 【答案】-1 【解析】做出可行域，结合几何意义，即可求解. 【详解】 做出可行域如下图所示： 表示可行域内的点与连线的斜率， ,其最小值为的斜率为. 故答案为: 【点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查数形结合思想，求几何意义为直线斜率的目标函数的最值，属于基础题. 15．在三棱锥中，是等边三角形，平面，且的面积为1，则三棱锥的外接球表面积的最小值是______. 【答案】 【解析】设等边边长为，求出长和外接圆半径，根据三棱锥的外接球性质，结合平面，确定球心位置，求出半径，以及球的表面积，利用基本不等式，即可求解. 【详解】 设等边边长为，的外接圆圆心为， 则外接圆半径， 平面， 过作平面，则三棱锥的外接球的球心在上， 连，则，取中点，连，则， 又平面，所以，四边形为矩形， 所以， 所以外接球半径， 三棱锥的外接球表面积 ， 当且仅当，等号成立， 三棱锥的外接球表面积的最小值是. 故答案为:. 【点睛】 本题考查多面体外接球的表面积最小值，确定球心是解题的关键，属于中档题. 16．已知函数，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由，或，有且仅有三个零点， 函数与函数和函数有三个交点，做出函数的图像，即可求解. 【详解】 ，或 有且仅有三个零点，函数与函数和 函数有三个交点，根据函数图像，. 故答案为: 【点睛】 本题考查复合函数的零点，考查数学结合思想，属于中档题. 三、解答题 17．已知数列满足：，且是、的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（1）根据等差数列定义，可得为等差数列，再由是、的等比中项，求出公差，即可求解； （2）由通项公式，用裂项相消法，可求的前和. 【详解】 解：（Ⅰ）由可知道， 数列是等差数列，且，解得， ∴； （Ⅱ）， 所以. 【点睛】 本题考查等差数列的定义及其通项，考查用裂项相消法求数列的前项和，属于基础题. 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且满足：. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解； （2）由（1）求出，用余弦定理得出关系式，运用基本不等式，可求出结论. 【详解】 解：（Ⅰ）由，， 得，， 在中，由正弦定理 得， 化简得， 因，所以. （Ⅱ）在中，由（1）得，由余弦定理得， ，所以， 当且仅当时“”成立. 因， 所以当且仅当时，面积的最大值为. 【点睛】 本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题. 19．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】（1）由长度关系，可证，再结合已知条件，可证平面，即可证明结论； （2）求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，即可求解. 【详解】 解：（Ⅰ）证明：因， 所以，由正方形得， 因平面，， 所以平面，因平面， 所以平面平面. （Ⅱ）因，平面， 平面，所以平面， ，，四边形为等腰梯形， ， 设点到平面的距离为，由 得， 解得，所以点到平面的距离为. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，要注意线段长度关系隐含线线垂直，考查等体积法，求点到平面的距离，属于中档题. 20．在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席①、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应习总书记的号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示，近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数，其中为每天的时刻.若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为21.8. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：） 【答案】（Ⅰ）600；（Ⅱ）12时. 【解析】（1）将代入解析式，解关于 的方程，即可得出结论； （2）求，求出的单调区间，进而求出极值，即可求解. 【详解】 解：（Ⅰ）由得， 所以； （Ⅱ）由 得， 由得. 列表得 12 + 0 - 增 极大值 减 所以函数在时取极大值也是最大值， 所以近期每天空气质量指数最高的时刻为12时. 【点睛】 本题考查函数应用问题，利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中档题. 21．在直角坐标系中，椭圆：，点在椭圆上，过点作圆的切线，其切线长为椭圆的短轴长. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，点在椭圆上，且，直线与轴交于点.设直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（1）根据圆的切线性质，求出，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）根据已知条件求出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理求出坐标关系，求出直线的斜率，可求出直线方程，进而求出点坐标，即可求出结论. 【详解】 解：（Ⅰ）根据题目条件可知：， 解得：.又因为点在椭圆上， 所以，可得， 故椭圆的标准方程为：. （Ⅱ）直线的斜率为， 因为，所以， 直线的直线方程为： 与椭圆的方程联立可得： ，， ， 则.∵点的坐标为， ∴直线的直线方程为：， 则点解得， ，所以. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程以及简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题. 22．已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数，对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（1）求出，即可求解； （2）对于任意，都有恒成立，转化为， 在恒成立，分离参数，构造函数，转化为与的最值关系，运用导数求出的最值，即可求解. 【详解】 解：（Ⅰ）当时，， ∴，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为：. （Ⅱ）函数，，， 由题意可得：， 对恒成立，可转化为：， 设， ， 设，则， 所以在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 又因为， 所以， 又∵，∴，， 故实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值有关的不等式，要注意分离参数构造函数，利用导数研究函数的最值，属于较难题. 第 17 页 共 17 页