2020届山东省泰安第二中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）.doc

第 1 页 共 24 页 2020 届山东省泰安第二中学高三上学期届山东省泰安第二中学高三上学期 10 月月考数学试题月月考数学试题 一、单选题一、单选题 1若若2()2(1)f xxfx，则，则(0)f 等于（等于（）A2 B0 C2 D4【答案】【答案】D【解析】【解析】()2(1)2(1)2(1)2,(1)2fxfxfff (0)2(1)4ff ,选 D.2若若,a bR，则复数，则复数22(610)(45)aabbi 在复平面上对应的点在在复平面上对应的点在 A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限【答案】【答案】D【解析】【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.详解：因为2610aa231 10a ，245bb21210b ，所以复数 2261045aabbi 在复平面上对应的点在第四象限，故选 D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3设某中学的女生体重设某中学的女生体重y（单位：（单位：kg）与身高）与身高x（单位（单位 cm）具有线性相关关系，根据）具有线性相关关系，根据一组样一组样本数据本数据(,)(1,2,.)iix yin用最小二乘法建立回归方程为用最小二乘法建立回归方程为0.8585.71xy，则，则下列结论中不正确的是（下列结论中不正确的是（）A具有正的线性相关关系具有正的线性相关关系 B回归直线过样本的中心回归直线过样本的中心,x y C若该中学某女生身高增加若该中学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加，则其体重约增加 0.85kg D若该中学某女生身高增加若该中学某女生身高增加 160cm，则可断定其体重必为，则可断定其体重必为 50.29kg【答案】【答案】D【解析】【解析】由最小二乘法建立的回归方程可以直接判断得出答案.第 2 页 共 24 页【详解】由最小二乘法建立的回归方程0.8585.71xy得回归直线一定过样本中心,x y,且由x的系数 0.850得两个变量为正的线性相关关系,由回归方程式当身高增加 1cm时代入计算增加的体重约为 0.85kg,当身高增加 160cm时代入计算增加的体重约为50.29kg,不是一定为 50.29kg,所以可得:ABC 正确,D 错误.故选:D.【点睛】本题考查了线性回归分析,属于基础题.4设函数设函数 321f xxaxax若若 f x为奇函数，则曲线为奇函数，则曲线 yf x在点在点00，处的切线处的切线方程为方程为()A2yx Byx C2yx Dyx【答案】【答案】D【解析】【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a，进而得到()f x的解析式，再对()f x求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x是奇函数，所以10a，解得1a，所以3()f xxx，2()31xf x，所以(0)1,(0)0ff，所以曲线()yf x在点(0,0)处的切线方程为(0)(0)yffx，化简可得yx，故选 D.点睛：该题考查的是有关曲线()yf x在某个点00(,()xf x处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()fx，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5小赵、小钱、小孙、小李到小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人个人去的景点彼此互不相同去的景点彼此互不相同”，事件，事件B“小赵独自去一个景点小赵独自去一个景点”，则，则(|)P A B（）A59 B49 C13 D29【答案】【答案】D 第 3 页 共 24 页【解析】【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论 详解：小赵独自去一个景点，则有 3 个景点可选，其余 3 人只能在小赵剩下的 3 个景点中选择，可能性为3 3 327 种 所以小赵独自去一个景点的可能性为4 27108种 因为 4 个人去的景点不相同的可能性为432 124 种，所以242|.1089P A B（）故选：D 点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键 6设设 P 是是60的二面角的二面角l 内一点，内一点，,PAPB平面平面,A,B为垂足，垂足，4,2,PAPB则则 AB 的长为（的长为（）A.2 3 B.2 5 C.2 7 D.4 2【答案】【答案】C【解析】解：设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q，连接 AQ、BQ 可得直线 l平面 PAQB，所以AQB 是二面角-l-的平面角，AQB=60，故PAB 中，APB=180-60=120，PA=4，PB=2，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PAPBcos120，=42+22-2 4 2(-1 2)=28，所以 AB=2 7，故选 C 7数学数学 40 名数学教师，按年龄从小到大编号为名数学教师，按年龄从小到大编号为 1,2，40。现从中任意选取。现从中任意选取 6 人分成人分成两组分配到两组分配到 A,B 两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为较大的教师在另一组，那么编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是的方法种数是 A220 B440 C255 D510【答案】【答案】D【解析】【解析】分析：根据题意，分析可得“编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除 8,12,28 之外的另外三人的编号必须都大于 28 或都小于 8，则先分另外三人的编号必须“都大于 28”或“都小于 8”这两种情况讨论选出其他三人的情况，再将选出 2 组进行全排列，最后由分步计数原理计算可得答案.详解：根据题意，要确保“编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，第 4 页 共 24 页 则除 8,12,28 之外的另外三人的编号必须都大于 28 或都小于 8，则分 2 种情况讨论选出的情况：如果另外三人的编号都大于 28，则需要在 2940 的 12 人中，任取 3 人，有312220C种情况；如果另外三人的编号都小于 8，则需要在 17 的 7 人中，任取 3 人，有3735C 种情况.即选出剩下 3 人有220 35255种情况，再将选出的 2 组进行全排列，有222A 种情况，则编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是255 2510 种.故选：D.点睛：本题考查排列组合的应用，解题的关键是分析如何确保“编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，进而确定分步，分类讨论的依据.8函数函数 f xxsinxcosx,其导函数的图象大致为其导函数的图象大致为()A B C D【答案】【答案】A【解析】【解析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果.【详解】f xxsinxcosx，sincossincosfxxxxxxx，令 cosg xxx且 00g，第 5 页 共 24 页 g x过0,0点，cossing xxxx，2sincosgxxxx，当,02x 时 0gx，故 g x单调递增，则 1022ggxg，故存在,02a 使得 0g a，所以当,2xa 时 0gx，g x单调递减，当,0 xa时 0g x，g x单调递增，当0,2x时 0gx，故 g x单调递减，则 0122ggxg,故存在0,2b使得 0g b，所以当0,xb时 0g x，g x单调递增，当,2xb时 0gx，故 g x单调递减，综上：fx在,2xa 单调递减，在,a b上单调递增，在,2b单调递减，结合图像可知 A 正确.故选：A【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，属于中档题.9若若X是离散型随机变量，是离散型随机变量，12()3P Xx，21()3P Xx，又已知，又已知3(4)E X，2()9D X，则，则12xx的值为（的值为（）A53 B23 C3 D1【答案】【答案】D 第 6 页 共 24 页【解析】【解析】分析：由期望公式和方差公式列出12,x x的关系式，然后变形求解 详解：21133，随机变量x的值只能为12,x x，解得125323xx或1212xx，121xx 故选 D 点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量X只能取两个值12,x x，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解 10已知函数已知函数()(ln)()xef xkxxkRx，如果函数，如果函数()f x在定义域为在定义域为(0,+)只有一个只有一个极值点，则实数极值点，则实数k的取值范围是的取值范围是 A0,1 B,1 C,e D,e 【答【答案】案】C【解析】【解析】分析：求函数 f x的导函数，并化简整理，结合函数 f x在定义域为(0,+)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数 f x的定义域为(0,+)22111xxxxekxxeefxkxxx 当0k 时，0 xekx恒成立，令 0fx，则1x，即 f x在1,上单调递增，在0,1上单调递减，则 f x在1x 处取得极小值，符合题意；当0k 时，1x 时()0fx=，又函数 f x在定义域为(0,+)只有一个极值点，f x在1x 处取得极值.从而0 xekx或0 xekx恒成立，构造函数 ,xh xe g xkx，第 7 页 共 24 页 xh xe，设 g xkx与 xh xe相切的切点为00,xx e，则切线方程为000 xxyeexx，因为切线过原点，则00000 xxeex，解得01x，则切点为1,e 此时ke.由图可知：要使0 xekx恒成立，则ke.综上所述：,ke.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点 11已知函数已知函数()f x与与()fx的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数()xf xye（）A在区间在区间(1,2)上是减函数上是减函数 B在区间在区间3 1(,)2 2上是减函数上是减函数 第 8 页 共 24 页 C在区间在区间1(,3)2上减函数上减函数 D在区间在区间(1,1)上是减函数上是减函数【答案】【答案】B【解析】【解析】分析：求出函数y的导数，结合图象求出函数的递增区间即可 详解：xfxf xye，由图象得：3122x 时，0fxf x（）（），故 xf xye在3 1,2 2递增，故选：B 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题 二、多选题二、多选题 12对于函数对于函数()yf x，若存在区间，若存在区间,a b，当，当,xa b时，时，()f x的值域为的值域为,(0)ka kb k，则称，则称()yf x为为k倍值函数倍值函数.下列函数为下列函数为 2 倍值函数的是（倍值函数的是（）A2()f xx B32()22f xxxx C()lnf xxx D()xxf xe【答案】【答案】ABD【解析】【解析】由题中条件可转化为 2f xx至少有两个不相等的实数根,进行一一判断即可得答案.【详解】由题意可得,若函数()yf x为 2倍值函数,需要()2f xx在定义域内至少有两个不相等的实数根,A2()2f xxx,xR解得0 x或2x满足题意;B32()222f xxxxx解得2x或0 x满足题意;C()ln2f xxxx无解,不满足题意;D()2xxf xxe解得0 x或1ln2x 满足题意.故选:ABD.【点睛】第 9 页 共 24 页 本题考查了新定义函数的应用,理解新定义函数并正确的转化是解题的关键,属于一般难度的题.13如图，矩形如图，矩形ABCD，M为为BC的中点，将的中点，将ABM沿直线沿直线AM翻折成翻折成1ABM，连，连接接1B D，N为为1B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是()A存在某个位置，使得存在某个位置，使得1CNAB;B翻折过程中，翻折过程中，CN的长是定值；的长是定值；C若若ABBM，则，则1AMB D；D若若1ABBM，当三棱锥，当三棱锥1BAMD的体积最大时，三棱锥的体积最大时，三棱锥1BAMD的外接球的表面积是的外接球的表面积是4.【答案】【答案】BD【解析】【解析】对于 A 取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，则1N E A B，1NFMB 由1CNAB，则ENCN，从而判断 A，对于 B，由判断 A 的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判断；对于D根据题意知，只有当平面1B AM 平面AMD时，三棱锥1BAMD的体积最大，取AD的中点为E，连接1,OE B E ME，再由线面垂直的性质定理即可判断；【详解】对于 A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1 第 10 页 共 24 页 则1NEAB，1NFMB 如果1CNAB，则ENCN,由于11ABMB，则ENNF,由于三线,NE NF NC共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于 B，如图1，由1NECMAB,且11,2NEAB AMEC，在CEN中，由余弦定理得：2222cosNCNEECNE ECNEC，也是定值，故NC是定值，故正确；对于 C，如图2 ABBM，即11ABBM,则1AMBO 若1AMB D，由于111BOB DB，且11,BO B D 平面1ODB，第 11 页 共 24 页 AM平面1ODB，OD平面1ODB，ODAM，则ADMD,由于ADMD，故1AMB D不成立，故不正确；对于 D，根据题意知，只有当平面1B AM 平面AMD时，三棱锥1BAMD的体积最大，取AD的中点为E，连接1,OE B E ME，如图2 1ABBM，则111ABBM，且11ABBM，平面1B AM 平面AMDAM 1BOAM，1BO平面1B AM 1BO平面AMD，OE 平面AMD 1BOOE，则2AM，11222BOAM,112222OEDMAM,从而22122122EB,易知1EAEDEM AD的中点E就是三棱锥1BAMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4，故 D 正确；故选：BD【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.三、填空题三、填空题 14己知随机变量己知随机变量X服从正态分布服从正态分布(4,1)N，且，且(5)0.1587P x，则，则(34)Px_.第 12 页 共 24 页【答案】【答案】0.3413【解析】【解析】由正态分布密度曲线的对称性及概率特点直接求解即可.【详解】因为随机变量 X 服从正态分布(4,1)N,且(5)0.1587P x,所以(34)0.5()0.5(5)0.50.15870.3413 PxP xP x.故答案为:0.3413.【点睛】本题考查了利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,属于基础题.15已知已知7270127()xmaa xa xa x的展开式中的展开式中4x的系数是的系数是35，则，则m_.1237aaaa_.【答案】【答案】1 1 【解析】【解析】利用二项展开式的通项求参数1m,令0 x,求得01a ,令1x 求得01270aaaa,然后可求得1237aaaa【详解】由7270127()xmaa xa xa x的展开式的通项717Trrrrxm令74r 得3r,所以由33735m 解得1m,所以得7270127(1)xaa xa xa x 令0 x得70(0 1)1 a 令1x 得01270aaaa,所以127012700(1)1 aaaaaaaa 故答案为:1;1.【点睛】本题考查了二项展定理的应用,赋值法求参数的应用,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于一般难度的题.16点点P是棱长为是棱长为1的正方体的正方体1111ABCDABC D的底面的底面ABCD上一点，则上一点，则1PA PC的的取值范围是取值范围是_.【答案】【答案】1,02 第 13 页 共 24 页【解析】【解析】建立空间直角坐标系，则点1,0,0A，10,1,1C，设点P的坐标为,x y z，则由题意可得01x，01y，1z，计算221PA PCxxyy，再利用二次函数的性质求得它的值域.【详解】如图所示：以点 D 为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以1DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则点1,0,0A，10,1,1C，设点P的坐标为,x y z，则由题意可得01x，01y，1z，1,1PAxy，1,1,0PCxy 22221111110222PA PCxxyyxxyyxy 由二次函数的性质可得，当12xy时，1PA PC取得最小值12；故当0 x或1，且0y 或1时，1PA PC取得最大值0；所以1PA PC的取值范围是1,02.故答案为：1,02【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的在平面向量中的应用，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于中档题.第 14 页 共 24 页 17设函数设函数 f x是定义在是定义在0,上的可导函数，其导函数为上的可导函数，其导函数为 fx，且有，且有 2f xxfxx，则不等式，则不等式 220182018420 xf xf的的解集为解集为_.【答案】【答案】2020,【解析】【解析】构造函数 2g xx f x,求导利用题中条件证明函数 2g xx f x在定义域上为单调递增函数,然后将不等式 220182018420 xf xf转化为 20182g xg进行求解.【详解】令 2g xx f x,定义域为0,所以 g x 22xf xx fx 因为函数 f x是定义在0,上的可导函数，其导函数为 fx，且有 2f xxfxx,所以 2220 xf xx fxx恒成立,所以 0g x恒成立,则函数 2g xx f x在定义域0,上为单调递增函数,所以由不等式 220182018420 xf xf可得 20182g xg即得20182x解得2020 x,即不等式的解集为2020,.故答案为:2020,.【点睛】本题考查了导数的应用,利用导数的知识判断函数的单调性,然后利用函数单调性解决不等式的问题,准确的构造函数并转化不等式是解决本题的关键,属于中档题.四、解答题四、解答题 18已知复数已知复数Z满足满足23ZiZi（其中（其中i为虚数单位）为虚数单位）（）求）求Z；（）若）若2aiZ为纯虚数，求实数为纯虚数，求实数a的值。的值。【答案】【答案】（1）3 4zi；（2）83a .【解析】【解析】【详解】分析：(1)）设,zxyi x yR，可得222040 xyxy，解得34xy从而可第 15 页 共 24 页 得结果；(2)由（1）知3864225aa iaiz，利用2aiZ为纯虚数可得380640aa，从而可得结果.详解：（1）设,zxyi x yR，由于2 3zizi 则：2223xyixyii 22240 xyxyi 222040 xyxy 解得：34xy 3 4zi （2）由（1）知23422343434aiiaiaiziii 386425aa i 又2aiZ为纯虚数，380640aa 83a 点睛：本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题解题时一定要注意21i 和 abicdiacbdadbc i以及abicdiabicdicdicdi 运算的准确性，否则很容易出现错误.19 设 设m为正整数，为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为a，展开式，展开式21()mxy的的二项式系数的最大值为二项式系数的最大值为b，a与与b满足满足137ab（1）求）求m的值；的值；（2）求）求2()()mxy xy的展开式中的展开式中27x y的系数。的系数。第 16 页 共 24 页【答案】【答案】（1）6m；（2）-20.【解析】【解析】分析：（1）根据二项式系数的性质求得 a 和 b，再利用组合数的计算公式，解方程137ab求得 m 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可.详解：（1）由题意知：1221,mmmmCa Cb，又137ab 1221137mmmmCC 21!2!137!1!mmm mmm 211371mm 6m（2）28mxyxyxyxy 722xyxy 含27x y的项：277252577,xC yyC x y 所以展开式中27x y的系数为57120C 点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可 20已知函数已知函数3211()(1)()32f xxaxax aR.（1）若）若()f x在在13x 处取得极值，求处取得极值，求()f x的单调递减区间；的单调递减区间；（2）若）若()f x在区间在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数内有极大值和极小值，求实数a的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）1(,2)3；（2）03 2 2a 【解析】【解析】【详解】分析：（1）由103f，可得2 3a ，利用 0fx，即1203xx，可得123x，从而可得结果；（2）f x在0,1内有极大值和极小值，等价于 0fx 在0,1内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.详解：21fxxaxa，（1）f x在13x 处取得极值，第 17 页 共 24 页 103f，111093aa，23a ，25212333fxxxxx，令 0fx，则1203xx，123x，函数 f x的单调递减区间为1,23.（2）f x在0,1内有极大值和极小值，0fx 在0,1内有两不等实根，对称轴12ax，01012 00 10aff ，即2(1)40110110aaaaaa 32 232 2110aaaa 或，03 2 2a.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上,m n的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、,f mf n的符号）的方法解答.21如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD，底面，底面ABCD为菱形，为菱形，PA 平面平面ABCD，ABC60，,E F分别是分别是,BC PC的中点的中点 第 18 页 共 24 页(1)证明：证明：AEPD；(2)若若H为为PD上的动点，上的动点，EH与平面与平面PAD所成最大角的正切值为所成最大角的正切值为62，求二面角，求二面角E AF C的余弦值的余弦值【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】【解析】1要证明AEPD，我们可能证明AE 面 PAD，由已知易得AEPA，我们只要能证明AEAD即可，由于底面 ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明AEBC，由已知易我们不难得到结论；2由 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，我们分析后可得 PA 的值，由 1的结论，我们进而可以证明平面PAC平面ABCD，则过 E 作EOAC于 O，则EO平面 PAC，过 O 作OSAF于 S，连接ES，则ESO为二面角E AF C的平面角，然后我们解三角形 ASO，即可求出二面角E AF C的余弦值【详解】(1)证明：由四边形 ABCD 为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形 因为 E 为 BC 的中点，所以AEBC 又BC/AD，因此AEAD 因为PA 平面 ABCD，AE 平面 ABCD，所以PAAE 而PA 平面 PAD，AD 平面 PAD 且PAADA，所以AE 平面PAD.又PD 平面 PAD，所以AEPD (2)设AB2，H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH 由(1)知AE 平面 PAD，则EHA为 EH 与平面 PAD 所成的角 在Rt EAH中，AE3，第 19 页 共 24 页 所以当 AH 最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大 此时AE36tanEHAAHAH2，因此AH2.又AD2，所以ADH45，所以PA2 因为PA 平面 ABCD，PA 平面 PAC，所以平面PAC平面 ABCD 过 E 作EOAC于 O，则EO平面 PAC，过 O 作OSAF于 S，连接 ES，则ESO为二面角E AF C的平面角，在Rt AOE中，3EOAE sin302，3AOAE cos302，又 F 是 PC 的中点，在Rt ASO中，3 2SOAO sin454，又223930SEEOSO484，在Rt ESO中，3 2SO154cosESOSE5304，即所求二面角的余弦值为155【点睛】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出ESO为二面角E AF C的平面角，通过解AOC所在的三角形求得ESO.其解题过程为：作ESO证ESO是二面角的平面角计算ESO，简记为“作、证、算”22某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14，标准差，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。第 20 页 共 24 页 （1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判（，依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）表示对应事件的概率）()0.6862Px(22)0.9544Px(33)(820)0.9974PxPx 评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在）将数据不在(2,2)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取抽取 2 件，次品数记为件，次品数记为Y，求，求Y的分布列与数学期望的分布列与数学期望EY。【答案】【答案】(1)不满足至少两个不等式，该生产线需检修;(2)见解析.【解析】【解析】分析：（1）根据频率分布直方图得出 X 落在 12,16,10,18,8,20上的概率，从而得出结论；（2）根据题意，Y的可能值为：0,1,2，分别求出对应的概率即可.详解：（1）由题意知14,2，由频率分布直方图得：()(1216)0.290.1120.80.6862PxPx (22)(1018)0.80.040.0320.940.9544PxPx (33)(820)0.940.015 0.00520.980.9974PxPx 不满足至少两个不等式，该生产线需检修。第 21 页 共 24 页（2）由（1）知：47(22)0.9450Px 任取一件是次品的概率为：30.0650 任取两件产品得到次品数Y的可能值为：0,1,2 则24722090502500P Y 12473141150502500P YC 2392502500P Y Y的分布列为：Y 0 1 2 P 22092500 1412500 92500 22091419301225002500250025EY （或3325025EYnP）点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，属于中档题.23已知函数已知函数 lnf xxax在在2x处的切线处的切线 与直线与直线230 xy平行平行（）求实数）求实数的值；的值；（）若关于）若关于的方程的方程 22f xmxx在在上恰有两个不相等的实数根，求实上恰有两个不相等的实数根，求实数数m的取值范的取值范围；围；（）记函数）记函数 212g xf xxbx，设，设是函数是函数的两个极值点，的两个极值点，若若32b，且，且 12g xg xk恒成立，求实数恒成立，求实数k的最大值的最大值【答案】【答案】（）1a（）5ln224m（）152ln28【解析】【解析】试题分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a 的值；（2）将 22f xmxx在1,22上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数 m 的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式 第 22 页 共 24 页 试题解析：（1）1fxax 函数在2x处的切线 与直线230 xy平行 1122ka，解得：1a；（2）由（1）得 lnf xxx，22f xmxx，即23ln0 xxxm 设 23ln(0)h xxxxm x，则 2211123123xxxxhxxxxx 令 0h x，得，列表得：当时，h x的极小值为 12hm，又 15ln2,22ln224hmhm 方程 22f xmxx在上恰有两个不相等的实数根，10,210,20,hhh即520,420,220,mlnmmln解得：5ln224m；（3）解法（一），21111xbxgxxbxx 121 21,1xxbx x，22112121221ln12xg xg xxxbxxx 12121111212221 2221111ln1lnln222xxxxxxxxxbxxxxx xxxx 第 23 页 共 24 页 120 xx设12xtx，则01t，令 11ln2G tttt，01t 则 22211111022tG tttt，G t在0,1上单调递减；32b，22514b 222211221212122121122xx xxxxbxxtx xxxt 12524tt241740tt104t 当14t 时，min1152ln248G tG152ln28k max152ln28k 解法（二），21111xbxgxxbxx 121 21,1xxbx x，211xx32b 1111152 10 xxxx 解得：1102x 22112121221ln12xg xg xxxbxxx 21121112ln2xxx 设 221112ln(0)22F xxxxx，则 22331210 xFxxxxx F x在10,2上单调递减；当112x 时，min1152ln228F xF152ln28k max152ln28k【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 第 24 页 共 24 页