2020届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）.doc

2020届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中考试数学试题 一、单选题 1．已知全集，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出集合N的补集，再进行交集运算. 【详解】 因为，所以 所以 故选：D 【点睛】 本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题. 2．若函数的最小正周期为，则正数的值是（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】根据周期公式求解即可. 【详解】 因为函数的最小正周期为 所以 故选：C 【点睛】 本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题. 3．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到，取特殊值得到，从而得到“”是“”的充分不必要条件. 【详解】 因为，所以 根据不等式的性质得到： 即 反过来，因为当时，的值没有意义，所以 则“”是“”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】 本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 4．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答. 【详解】 由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2， ∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)， ∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】 本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 5．函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6．若在是增函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据辅助角公式,将函数化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函数的单调递增区间.根据闭区间内单调递增,即可求得的最大值. 【详解】 函数 所以 由正弦函数的单调递增区间可知, 的单调递增区间为 解得 因为在是增函数 所以的最大值是 故选:A 【点睛】 本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题. 7．已知函数的零点，其中常数a，b满足，，则整数的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】利用指数与对数之间的转化求出，，结合函数的单调性以及零点存在性定理，即可得出整数的值. 【详解】 ， ， 因为函数与函数在上都为增函数，所以函数在上是增函数 因为， 所以 函数的零点，即 故选：B 【点睛】 本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题. 8．若关于x的不等式的解集中有2个整数则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】去掉绝对值，令，，，画出函数与的草图，结合图像即可得到实数m的取值范围. 【详解】 当时， 当时， 令，， 函数与的草图如下图所示 由于关于x的不等式的解集中有2个整数 则，即 故选：C 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解确定参数的取值范围，属于中档题. 9．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，，利用导数得出函数，的单调性，结合单调性得出，，即可得出答案. 【详解】 设函数， 当时，，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以 故 当时，，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减 所以 故 综上， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了比较大小，关键是利用函数的单调性来解决问题，属于中档题. 10．设O是的外心，满足，，若，则的面积是（ ） A．4 B． C．8 D．6 【答案】B 【解析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可. 【详解】 取AC中点D，因为O是的外心，所以 则 ，解得： 所以 即 故选：B 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题. 二、填空题 11．己知向量，，则_______，若，则_________. 【答案】 【解析】由向量模长的坐标公式以及平行的坐标公式求解即可. 【详解】 ，解得： 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查了向量坐标的模长公式、已知两向量平行求参数，属于基础题. 12．已知角的终边经过点，则_________，_________. 【答案】 【解析】由任意角的三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】 由任意角的三角函数的定义可知 ， 所以 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题. 13．已知函数，则__________，若，则实数x的值是_______. 【答案】 【解析】先判断，代入第一段解析式结合对数的运算性质求解即可；讨论和两种情况，代入相应解析式，求解即可. 【详解】 当时，，解得 当时，，解得：（舍） 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题. 14．如图，四边形中，、分别是以和为底的等腰三角形，其中，，，则__________，____________. 【答案】 【解析】由余弦定理得出，，由建立等量关系，得出的长，代入得到的值，利用二倍角公式得到，根据余弦定理即可求出. 【详解】 由余弦定理可知： 因为，所以，解得： 所以 所以 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题. 15．设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数a的值是________. 【答案】 【解析】由于指数函数与对数函数互为反函数，则公共点在直线上，即函数，与直线只有一个交点，对应的方程只有一个根 构造函数，，利用导数求出其最小值，解方程，即可得出实数a的值. 【详解】 因为指数函数与对数函数互为反函数 所以与关于直线对称 由于时，曲线与曲线有且仅有一个公共点 则公共点在直线上 即函数，与直线只有一个交点 即只有一个根 令， 当时， 当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以函数的最小值 即 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了根据函数零点的个数求参数，关键在于发现同底的指数函数与对数函数互为反函数，关于直线对称，属于较难 题. 16．设向量，，，是单位向量且，则__________. 【答案】 【解析】将展开，利用向量的数量积公式，化简即可得出答案. 【详解】 则 所以 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量的混合运算，属于中档题. 17．若a为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则a的最大值是_________. 【答案】7 【解析】将原不等式等价于，构造函数，利用导数求出其最小值，即可得到a的最大值. 【详解】 因为对任意，当时，不等式恒成立 所以对任意，当时，不等式恒成立 即 所以当时，不等式恒成立 令 则 当时， 当时，或 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增 因为 所以 所以，的最大值为： 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于难题. 三、解答题 18．设，. （Ⅰ）解不等式：； （Ⅱ）若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）对的值进行分类讨论，去掉绝对值，利用一元二次不等式的解法求解即可； （Ⅱ）令p的解集为A，即，q的解集为B，由题意得到, 根据集合A,B的包含关系，对参数 m进行讨论列出相应关系式，求解即可. 【详解】 （Ⅰ）当，不等式显然成立, 当时，不等式可化为，即, 当时，不等式可化为，由于 则当时，不等式可化为恒成立 综上，不等式的解集为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令p的解集为A，即，q的解集为B，由题意知, 方程的两根为和3m, 当时，即，，显然成立, 当时，即，，显然成立, 当时，即，，要使成立, 则，即, 综上. 【点睛】 本题主要考查了解含有绝对值的不等式、根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题. 19．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，且. （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若，求的面积. 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角并化简得到，由利用，求出，从而得到，根据B的范围，求出B; （Ⅱ）根据条件得出，，利用正弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】 （Ⅰ）∵，, 即，又∵，∴, ∴, ∵, ∴B为锐角 ∴, （Ⅱ）中，，则, , 根据正弦定理, ∴. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理解三角形以及正弦定理的边化角公式、三角形面积公式，属于中档题. 20．已知函数. （Ⅰ）若不等式在上有解，求k的取值范围； （Ⅱ）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）将不等式化为，令，构造函数，求出，由题意不等式有解，则; （Ⅱ）将方程化为，利用换元法得到，根据函数的图像以及题设条件，确定方程有两个根，且或，构造函数，列出不等式组，求解即可. 【详解】 （Ⅰ）原式, 令，则, 令， 因为对称轴，所以二次函数在区间上单调递减，所以 ∵有解，∴, ∴. （Ⅱ）原式可化为, 令，原式可化为 因为方程有三个不同的实数根，所以由的图像知, 方程有两个根，且或 令 则或 ∴. 【点睛】 本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题. 21．已知平面向量，，且. （Ⅰ）若，平面向量满足，求的最大值； （Ⅱ）若平面向量满足，，，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）根据题意用坐标表示向量，，，利用向量的加法运算、平面向量的模长公式以及，化简得到，利用的最大值等价于到的距离加半径，求出的最大值； （Ⅱ）根据题意用坐标表示向量，，，由题设条件以及平面向量的模长公式得到，化简得到，利用模长公式得到，根据的范围得到的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）设，，， 则 的最大值等价于到的距离加半径 所以 （Ⅱ）设，，, 依题意得 , , ∴ 【点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算、坐标表示以及模长公式的应用，关键在于构造坐标，来解决问题，属于中档题. 22．设，已知函数，. （Ⅰ）设，求在上的最大值. （Ⅱ）设，若的极大值恒小于0，求证：. 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）对函数求导，得出的单调性，因为在区间单调递减，在区间单调递增，所以函数在闭区间上的最大值就是区间端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数在上的最大值. （Ⅱ）利用导数求出函数的极大值，构造函数，，利用导数得出，从而得到，，通过换元并构造函数，利用导数得出函数的最大值，即可证明. 【详解】 （Ⅰ）由题知， 当时，；当时， 从而的单调递增区间是，递减区间是 从而，, 于是； 当时，，所以; 当时，，所以； 综上所得 （Ⅱ）依题知，则，因为存在极大值，则关于x的方程，有两个不等的正根，不妨，则，得，且, 设列表如下： + 0 — 0 + + 0 — 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而极大值，又， 从而，对恒成立, 设，，则 因为，所以 所以在上递增，从而 所以，, 设，则，又. 若，；若，； 从而，即. 【点睛】 本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式，考查学生的计算和推理能力，属于难题. 第 19 页 共 19 页