四川省南充高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题 Word版含解析.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家 2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科） 一、单选题（每小题5分，总分60分） 1．已知集合，则A∩B＝（　　） A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞） 2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（　　） A． B． C． D． 3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（　　） A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z 4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（　　） A．5 B．7 C．10 D．15 5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（　　） A． B．2 C．+1 D．+2 6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（　　） A．， B．π， C．2， D． 8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（　　） A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？ 9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2） 11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞） C．（1﹣，1） D．（1，e） 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是　 　． 14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为　 　． 15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有　 　对． 16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为　 　． 三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分） 17．在数列{an}中，已知． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn． 18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）． （1）求函数y＝f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[]上的最大值和最小值． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点． （1）试证：CD⊥平面BEF； （2）求BC与平面BEF所成角的大小； （3）求三棱锥P﹣DBE的体积． 20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1． （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值． 21．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求C1和C2的参数方程 （Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|． （1）解不等式f（x）≤6； （2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围． 2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、单选题（每小题5分，总分60分） 1．已知集合，则A∩B＝（　　） A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞） 【解答】解：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x≤2}， ∴A∩B＝[1，2]． 故选：A． 2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为＝6个， 而取到红楼梦包含＝3个基本事件， 所以取到《红楼梦》的概率为P＝＝， 故选：B． 3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（　　） A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z 【解答】解：设复数z＝a+bi（i是虚数单位），则 复数z为实数的充分必要条件为b＝0 由此可看出：对于A，z2为实数，可能z＝i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B，同样若z是纯虚数，则z+＝0为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C，若z＝a+bi，＝a﹣bi，z＝等价于b＝0，故是充分必要条件，故不符合题意； 对于D，若|z|＝z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|＝z不成立，符合题意． 故选：D． 4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（　　） A．5 B．7 C．10 D．15 【解答】解：x1+x2+…+xn＝5n， 2x1+5+2x2+5+…+2xn+5＝2•（5n）+5n＝15n， 所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为15， 故选：D． 5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（　　） A． B．2 C．+1 D．+2 【解答】解：圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1的圆心（3+cosθ，sinθ），半径为1， 点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点， 则圆心到直线x+y＝1距离为：＝≤，当且仅当sin（）＝1时点P到直线x+y＝1距离的最大值为：+2． 故选：D． 6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1， 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x∈[1，3]， 故选：D． 7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（　　） A．， B．π， C．2， D． 【解答】解：根据题意知，，设N（x，﹣1），且， ∴，解得x＝2， ∴根据图象得，，解得． 故选：A． 8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（　　） A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？ 【解答】解：由题得，则S＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（n）＝＝， 因为S＝，故n＝2019，由于判断框为否时输出，故n＜2020， 故选：A． 9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：∵、为三个单位向量，且， 将（x，y∈R）两边平方， 得＝2+2+2xy， 所以 x2+y2＝1， ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy≤2（x2+y2）＝2， ∴x+y≤， 所以x+y 最大值为． 故选：B． 10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2） 【解答】解：f（2）＝（2a﹣1）e2﹣2＝2a﹣1； f′（x）＝aex﹣2+（ax﹣1）ex﹣2＝ex﹣2（ax+a﹣1）； 则点（2，2a﹣1）处的切线斜率为f′（2）＝3a﹣1； ∵切线过点（3，3）； ∴，解得a＝1； ∴f′（x）＝xex﹣2； 令f′（x）＝0，解得x＝0； ∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； ∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）； 故选：A． 11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ∥AD，交CD于Q， 过Q作QH∥PD，交PC于H，连结MH， 则平面MNQH是所求的平面α， ∵过点M作平面α∥平面PAD， 截棱锥所得图形面积为y，平面α与平面PAD之间的距离为x， ∴，解得MN＝4﹣2x， ＝＝，即，∴MH＝x，NQ＝2， ∴函数y＝f（x）＝＝﹣x2+4，（0＜x＜2）． ∴函数y＝f（x）的图象如下图． 故选：D． 12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞） C．（1﹣，1） D．（1，e） 【解答】解：由题意f′（x）＝． 令f′（x）＝＜0，解得x＞1； 令f′（x）＝＞0，解得x＜1； 令f′（x）＝＝0，解得x＝1． ∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 在x＝1处取极大值． f（x）大致图象如下： 假设m＝2，令t＝f（x）． 则t2+2t+1＝0．解得t＝﹣1，即f（x）＝﹣1． 根据f（x）图象，很明显此时只有一个解， 故m＝2不符合题意，由此排除B、D选项； 假设m＝3， 则t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1． 即f（x）＝﹣2，或f（x）＝﹣1． 根据f（x）图象，很明显此时方程只有两个解， 故m＝3不符合题意，由此排除A选项． 故选：C． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是　4cm2　． 【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2， 所以扇形的面积为：＝4cm2； 故答案为4cm2． 14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为　（﹣，）∪（，+∞）　． 【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角， ∴＝﹣2λ﹣3＜0，且与 不共线， 即λ＞﹣ 且≠，即λ＞﹣ 且λ≠， 故答案为：（﹣，）∪（，+∞）． 15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有　4　对． 【解答】解：y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数 只需观察 f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sinx关于原点对称的函数的图象 交点个数即可， 上图可知： 两个图象交点个数为4个， 故答案为：4． 16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为　　． 【解答】解：△ABC中，c2＝3（a2﹣b2），得a2﹣b2＝，且b＜a， 所以B为锐角； 因为cosB＝＝＝＝， 即3sinAcosB＝2sinC＝2sin（A+B）， 整理得sinAcosB＝2cosAsinB， 则有tanA＝2tanB； 又tanC＝3， 所以tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝＝3， 化简得2tan2B﹣tanB﹣1＝0，解得tanB＝1或tanB＝﹣（不合题意，舍去）； 又B为锐角，所以角B＝． 故答案为：． 三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分） 17．在数列{an}中，已知． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）， 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 则． 因为﹣2， 所以bn＝3n﹣2． （2）由（1）知，，bn＝3n﹣2， 所以． 所以， ＝， ＝． 18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）． （1）求函数y＝f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（） ＝asinxcosx﹣． ∵f（﹣）＝f（0），∴a＝2． 则f（x）＝． 则T＝π； （2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[]， 则sin（2x﹣）∈[﹣]，f（x）∈[﹣1，2]． 则当x＝时，f（x）min＝﹣1，当x＝时，f（x）max＝2． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点． （1）试证：CD⊥平面BEF； （2）求BC与平面BEF所成角的大小； （3）求三棱锥P﹣DBE的体积． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点， ∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角， ∴DC⊥BF， 又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD， ∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD， 在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF． 由此得DC⊥平面BEF； （2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角， 在Rt△BFC中，BF＝AD＝2，CF＝， ∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为； （3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD， 在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD＝PD•h， 得h＝，∴A到平面PDC的距离为， 即B到平面PDC的距离为， ， ∴VP﹣DBE＝VB﹣PDE＝＝． 20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1． （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x＝﹣1的距离， 根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线． … ∵p＝2，∴点M的轨迹C的方程：y2＝4x．… 证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则点P的坐标为（，）． 由题意可设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），（k≠0）， 由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0． △＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0．… ∵直线l1与曲线C于A，B两点， ∴，． ∴点P的坐标为（1+，）．… 由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．… 当k≠±1时，有1+≠1+2k2， 此时直线PQ的斜率kPQ＝＝．… ∴直线PQ的方程为y+2k＝（x﹣1﹣2k2）， 整理得yk2+（x﹣3）k﹣y＝0． 于是，直线PQ恒过定点E（3，0）， 当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E（3，0）． 综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）． … 解：（Ⅲ）由题意得|EF|＝2， ∴△FPQ的面积S+≥4． 当且仅当k＝±1时，“＝”成立， ∴△FPQ面积的最小值为4．… 21．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）． ①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0， 在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）． ②当时，， 在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是． ③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）． ④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；区间上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是． （Ⅱ）设g'（x）＝ex﹣1，x∈（0，2]，g'（x）＞0，g（x）为增函数， 由已知，g（x2）max＝g（2）＝0．f（x）max＜0由（I）可知， ①当时，f（x）在（0，2]上单调递增， 故f（x）max＝f（2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2， 所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故． ②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故． 由可知，a＞，所以a＞， 综上a＞ln2﹣1． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求C1和C2的参数方程 （Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标． 【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4 所以C1参数方程为为参数）．… 曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4． 所以C2参数方程为为参数） … （Ⅱ）设点P极坐标为（ρ1，α），即ρ1＝4cosα， 点Q极坐标为，即．… 则 ＝＝… ∵， 当时|OP|•|OQ|取最大值， 此时P点的极坐标为．… [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|． （1）解不等式f（x）≤6； （2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为﹣3x+3≤6， 解得x≥﹣1，所以取； 当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6， 解得x≤1，所以取； 当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x﹣3≤6， 解得x≤3，不合题意，舍去； 综上知，不等式f（x）≤6的解集为[﹣1，1]． （2）由题意知，f（x）+|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|（2x+1）﹣（2x﹣8）|＝9， 当且仅当﹣≤x≤4时取等号； 由不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，则a2﹣8a＞9， 即（a﹣9）（a+1）＞0，解得a＜﹣1或a＞9； 所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）． 高考资源网版权所有，侵权必究！