2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题（解析版）.rar

第 1 页 共 23 页2020 届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题一、单选题一、单选题1设集合设集合1,2,3M ，22,2Naa，且，且3MN，则实数，则实数 a 的值为的值为()A1 或或-1B-1C1D2【答案】【答案】B【解析】【解析】由 A 与 B 的交集，得到元素 3 属于 A，且属于 B，列出关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，经检验即可得到满足题意 a 值【详解】AB3，3A 且 3B，a+23 或 a2+23，解得：a1 或 a1，当 a1 时，a+23，a2+23，与集合元素互异性矛盾，舍去；则 a1故选：B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 已知 已知 AB 是抛物线是抛物线22yx的一条焦点弦，的一条焦点弦，4AB，则，则 AB 中点中点 C 的横坐标是的横坐标是()A2B32C12D52【答案】【答案】B【解析】【解析】先设AB，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设1122A,B,x yxy，C 的横坐标为0 x，则1202x xx，因为AB是抛物线22yx的一条焦点弦，所以121214ABxxpxx，第 2 页 共 23 页所以123xx，故120322x xx.故选 B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3已知已知 na是等比数列，且是等比数列，且0na，243546225a aa aa a，那么，那么35aa的值等于（的值等于（）A5B10C15D20【答案】【答案】A【解析】【解析】试题分析：由于na是等比数列，2465a aa，224354635225,a aa aa aaa又0na 35+5aa.故选 A.【考点】等比中项.4与双曲线与双曲线221916xy有共同的渐近线有共同的渐近线,且经过点且经过点(3,2 3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()A1B2C4D8【答案】【答案】B【解析】【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】设双曲线方程为22916xy，将点(3,2 3)代入双曲线方程，解得2214,1494xy.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02,一条渐近线方程为43yx，即 4x-3y=0，第 3 页 共 23 页所以焦点到一条渐近线的距离是1029 16，故选：B.【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5是边长为 的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（是边长为 的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（）A B C D【答案】【答案】D【解析】【解析】试题分析：,由题意知 故 D 正确【考点】1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直6存在函数存在函数()f x满足，对任意满足，对任意xR都有（都有（）A(sin2)sinfxxB2(sin2)fxxxC2(1)1f xxD2(2)1f xxx【答案】【答案】D【解析】【解析】【详解】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，A 错误；同理可知 B 错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，C 错误，D：令，符合题意，故选 D.【考点】函数的概念第 4 页 共 23 页7已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）A B C D【答案】【答案】C【解析】【解析】双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，可得，由得，的周长为，故选C.8函数为函数为R上的可导函数，其导函数为上的可导函数，其导函数为 fx，且，且 3sincos6f xfxx，在，在ABC中，中，1fAfB，则，则ABC的形状为的形状为 A等腰锐角三角形等腰锐角三角形B直角三角形直角三角形C等边三角形等边三角形D等腰钝角三角形等腰钝角三角形【答案】【答案】D【解析】【解析】求函数的导数，先求出16f，然后利用辅助角公式进行化简，求出 A，B 的大小即可判断三角形的形状【详解】函数的导数 3cossin6fxfxx，则31313cossin36666262262ffff，则11262f，则16f，则 3cossin2cos6fxxxx，第 5 页 共 23 页 3sincos2cos3f xxxx，1fAfB，2cos16fBB，即1cos62B，则63B，得6B，2cos13fAA，即1cos32A，则33A，则23A，则2366C，则BC，即ABCV是等腰钝角三角形，故选 D【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数 f x和 fx的解析式是解决本题的关键9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（）A B C D【答案】【答案】A【解析】【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图 P-ABC 所示：第 6 页 共 23 页顶点 P 在以 BA 和 BC 为邻边的平行四边形 ABCD 上的射影为 CD 的中点 O，故该锥体的正视图是：A【考点】三视图10已知已知()sin 2019cos 201963f xxx的最大值为的最大值为A，若存在实数，若存在实数1x、2x，使得对任意实数，使得对任意实数x总有总有 12()f xf xf x成立，则成立，则12A xx的最小值为（）的最小值为（）A2019B42019C22019D4038【答案】【答案】C【解析】【解析】先化简 2sin 20193f xx，得2A，根据题意即求半个周期的 A倍【详解】解：依题意 sin2019 coscos2019 sincos2019 cossin2019 sin6633f xxxxx3sin2019cos2019xx,2sin 20196x，2A，22019T，12|22019minTxx，12A xx的最小值为22019，故选：C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题11已知椭圆已知椭圆2221 01yxbb的左焦点为的左焦点为F，左、右顶点分别为，左、右顶点分别为AC，上顶点，上顶点第 7 页 共 23 页为为B过过FBC，作圆作圆P，其中圆心，其中圆心P的坐标为的坐标为mn，当当0mn时，椭圆离心率的取值范围为（时，椭圆离心率的取值范围为（）A202，B102，C302，D605，【答案】【答案】A【解析】【解析】分别求出线段 FA 与 AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标 P，利用 m+n0，与离心率计算公式即可得出【详解】如图所示，线段FC的垂直平分线为：2112bx，线段BC的中点12 2b，BCkb=-，线段BC的垂直平分线的斜率1kb线段BC的垂直平分线方程为：1122byxb=，把2112bxm=代入上述方程可得：2212bbynb0mn，222111022bbbb+化为：21bb，又01b，解得212b 第 8 页 共 23 页22102cecba=，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.12设设22D22xxaeaa,其中其中2.71828e，则，则D的最小值为的最小值为()A2B3C21D31【答案】【答案】C【解析】【解析】分析：由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa的距离，而点A在抛物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x ，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上 1，画出图象，当,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a，2()(2)2xDxaeaa，由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa的距离，而点A在抛物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x ，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上 1，由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线xye的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由011mmeem，可得21mme，设 2mg mme，则 g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q，即有1 12FQ ，则D的最小值为21，故选 C.第 9 页 共 23 页点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题二、填空题13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得，则某一等人比其下一等人多得_斤金（不作近似计算）斤金（不作近似计算）【答案】【答案】778【解析】【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为 d，根据题意和等差数列的前 n 项和公式列出方程组，求出公差 d 即可得到答案【详解】设第十等人得金1a斤，第九等人得金2a斤，以此类推，第一等人得金10a斤，则数列 na构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得8910123443aaaaaaa，即113244463adad，解得778d=，所以每一等人比下一等人多得斤金778【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前 n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题第 10 页 共 23 页14已知直线已知直线l经过抛物线经过抛物线2:4xC y 的焦点的焦点F，与抛物线交于，与抛物线交于A、B，且，且8ABxx，点，点D是弧是弧AOB（O为原点）上一动点，以为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线l相切，当圆相切，当圆D的面积最大时，圆的面积最大时，圆D的标准方程为的标准方程为_【答案】【答案】22445xy【解析】【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB的斜率，可得出直线l的方程，再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，由此求出点D的坐标，并计算出点D到直线l的距离，作为圆D的半径，由此可得出圆D的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24xy，抛物线的焦点坐标为0,1F，直线AB的斜率221424ABABABABABxxyyxxkxxxx，所以，直线l的方程为21yx，即210 xy.当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，如下图所示：设点2,4tD t，点D在直线l的下方，则22102tt ，点D到直线l的距离为22121544455tttd，当4t 时，d取最大值5，第 11 页 共 23 页此时，点D的坐标为4,4，因此，圆D的标准方程为22445xy.故答案为：22445xy.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15 如图（如图（1），在等腰直角），在等腰直角ABC中，斜边中，斜边4AB，D 为为AB的中点，将的中点，将ACD沿沿CD折叠得到如图（折叠得到如图（2）所示的三棱锥）所示的三棱锥CA BD，若三棱锥，若三棱锥CA BD的外接球的半径为的外接球的半径为5，则，则A DB_.图（图（1）图（图（2）【答案】【答案】23【解析】【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决【详解】解：球是三棱锥 CABD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面 ABD，取 CD 的中点 E，AB 的中点 G，连接 CG，DG，因为 ADBD，CD平面 ABD，所以 A和 B 关于平面 CDG 对称，在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图中的 O 点位置，过O 作直线 CD 的平行线，交平面 ABD 于点 F，则 OF平面 ABD，且 OFDE1，因为 AF 在平面 ABD 内，所以 OFAF，即三角形 AOF 为直角三角形，且斜边 OAR5，第 12 页 共 23 页AF225 1ROF 2，所以，BF2，所以四边形 ADBF 为菱形，又知 ODR，三角形 ODE 为直角三角形，OE225 1RDE 2，三角形 ADF 为等边三角形，ADF3，故ADB23，故填：23【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题16已知已知ABC的三边分别为的三边分别为a，b，c，所对的角分别为，所对的角分别为A，B，C，且满足，且满足113abbcabc，且，且ABC的外接圆的面积为的外接圆的面积为3，则，则 cos24sin1f xxacx的最大值的取值范围为的最大值的取值范围为_【答案】【答案】12,24【解析】【解析】由ABC的三边分别为a，b，c可得：113abbcabc，3abcabcabbc1caabbc可知：c bca ababbc222acacb第 13 页 共 23 页2221cos22acbBac，3B23R，3R 2sinsinsinabcRABC2 3sinaA，2 3sincC2332 3 sinsin2 3 sinsin2 3sincos322acACAAAA6sin6A203A5666A36sin66A 可知3 6ac 222 sin22f xxacac 1sin1x 可知当sin1x 时，4maxf xac12424ac则 241f xcos xac sinx的最大值的取值范围为12 24，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。三、解答题三、解答题17已知等差数列已知等差数列 na满足：满足：3577,26aaa，数列，数列 na的前的前n项和为项和为nS.（1）求数列）求数列 na的通项公式及前的通项公式及前n项和项和nS；（2）令）令24()1nnbnNa，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和nT.第 14 页 共 23 页【答案】【答案】（1）21nan；22nSnn（2）1nnTn【解析】【解析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a,d的方程组求解 na再求前 n 项和公式即可得出（2）变形22441111211nnbannn，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列 na的公差为 d,37a,5726aa,112721026adad,解得13a,2d,3 2121nann;213222nn nSnnn.（2）22441111211nnbannn,11111111223111nnTnnnn .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图如图,在平面四边形在平面四边形 ABCD 中中,已知已知 AB=BC=CD=2，AD=2 2(1)求求2coscosAC的值的值;(2)记记ABD 与与BCD 的面积分别是的面积分别是 S1与与 S2,求求2212SS的最大值的最大值,第 15 页 共 23 页【答案】【答案】（1）12；(2)232.【解析】【解析】试题分析：(1)在ABD，BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,得出2coscosAC 的值;(2)利用(1)的结果,得到2212ss是关于cosA的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD的范围,由BD的范围求出cosA的范围,再求出2212ss的最大值.试题解析：（1）在ABD 中：222BD=AB+AD-2 AB AD cosA=12-8 2cos;A在BCD 中：222BD=BC2cos88cosCDBCCDCC 所以12-8 2cos88cosAC，整理得：12coscos2AC；由题意22211AB AD sin8sin,2sAA22221sin4sin;2sCB CDCC 所以：2222128sin4sinssAC 22=8 1-cos4 1 cosAC 22=12-8cos4cosAC221=12-8cos42cos2AA2=-16cos4 2cos11AA2223=-16 cos82A 224,216BDBD，2128 2cos16A，解之得：25-cos248A所以当22cos-184A，时，2212max232ss.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19已知抛物线已知抛物线C的方程的方程220ypx p，焦点为，焦点为F，已知点，已知点P在在C上，且点上，且点P到到第 16 页 共 23 页点点F的距离比它到的距离比它到y轴的距离大轴的距离大 1.（1）试求出抛物线）试求出抛物线C的方程；的方程；（2）若抛物线）若抛物线C上存在两动点上存在两动点,M N（,M N在对称轴两侧），满足在对称轴两侧），满足OMON（O为坐标原点），过点为坐标原点），过点F作直线交作直线交C于于,A B两点，若两点，若/ABMN，线段，线段MN上是否存在定点上是否存在定点E，使得，使得4EM ENAB恒成立？若存在，请求出恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】【答案】(1)24yx(2)存在，且坐标为4,0【解析】【解析】（1）由P到点F的距离比它到y轴的距离大 1，结合抛物线定义可得12p，从而可得结果；（2）设22121221,44yyMyNyyy，结合OMON，可得直线124:4MN yxyy，直线1AByk x：，与C联立，利用弦长公式求得12221114 1AByykk若点E存在，设点E坐标为00,xy，可得200241116yEM ENykk，4EM ENAB时，20041616yyk，从而可得结果.【详解】（1）因为P到点F的距离比它到y轴的距离大 1，由题意和抛物线定义，12p，所以抛物线C的方程为24yx，（2）由题意，0MNk，设22121221,44yyMyNyyy由OMON，得1216y y ，直线124:MN kyy，2111244yyyxyy整理可得1244yxyy，直线:AB若斜率存在，设斜率为,1k yk x，与C联立得第 17 页 共 23 页2440kyyk，12221114 1AByykk，若点E存在，设点E坐标为00,xy，0120221111EM ENyyyykk2120120211y yyyyyk200241116yykk，4EM ENAB时，20041616yyk，解得00y 或04yk（不是定点，舍去）则点E为4,0经检验，此点满足24yx，所以在线段MN上，若斜率不存在，则4,4416ABEM EN，此时点4,0E满足题意，综合上述，定点E为4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20椭圆椭圆222210 xyEabab：的离心率是的离心率是53，过点，过点 P（0，1）做斜率为）做斜率为 k 的直线的直线 l，椭圆，椭圆 E 与直线与直线 l 交于交于 A，B 两点，当直线两点，当直线 l 垂直于垂直于 y 轴时轴时3 3AB（1）求椭圆）求椭圆 E 的方程；的方程；（2）当）当 k 变化时，在变化时，在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 M（m，0），使得），使得AMB 是以是以 AB 为底的等腰三角形，若存在求出为底的等腰三角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由的取值范围，若不存在说明理由第 18 页 共 23 页【答案】【答案】()22194xy；()见解析。【解析】【解析】（）由椭圆的离心率为53得到2249ba，于是椭圆方程为2222149xyaa有根据题意得到椭圆过点3 3,12，将坐标代入方程后求得29a，进而可得椭圆的方程（）假设存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点M为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点由题意得设出直线AB的方程，借助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M的坐标后根据基本不等式可求出m的取值范围【详解】（）因为椭圆的离心率为53，所以22513cbaa，整理得2249ba故椭圆的方程为2222149xyaa 由已知得椭圆过点3 3,12，所以22927144aa，解得29a，所以椭圆的E方程为22194xy（）由题意得直线l的方程为1ykx由221194ykxxy消去y整理得224918270kxkx，其中2221849()427()432(31)0kkk 设1122,A x yB xy，AB的中点00,C xy则1212221827,4949kxxx xkk ，所以12029249xxkxk，第 19 页 共 23 页0024149ykxk，点 C 的坐标为2294,4949kCkk假设在x轴存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点,0M m为线段AB的垂直平分线与 x 轴的交点当0k 时，则过点C且与l垂直的直线方程221944949kyxkkk，令0y，则得2554499kxmkkk 若0k，则5554124929kkkk，5012m若0k，则555441299kkkk ，5012m当0k 时，则有0m 综上可得551212m所以存在点M满足条件,且 m 的取值范围是55,12 12.【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可 求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解21设抛物线设抛物线的方程为的方程为22ypx，其中常数，其中常数0p，F是抛物线是抛物线的焦点的焦点.（1）若直线）若直线3x 被抛物线被抛物线所截得的弦长为所截得的弦长为 6，求，求p的值；的值；（2）设）设A是点是点F关于顶点关于顶点O的对称点，的对称点，P是抛物线是抛物线上的动点，求上的动点，求|PAPF的最大值；的最大值；第 20 页 共 23 页（3）设）设2p，1l、2l是两条互相垂直，且均经过点是两条互相垂直，且均经过点F的直线，的直线，1l与抛物线与抛物线交于点交于点A、B，2l与抛物线与抛物线交于点交于点C、D，若点，若点G满足满足4FGFAFBFCFD ，求点，求点G的轨迹方程的轨迹方程.【答案】【答案】（1）32p；（2）2；（3）23yx.【解析】【解析】（1）当3x 时，代入抛物线方程，求得y，可得弦长，解方程可得p；（2）求得A的坐标，设出过A的直线为()2pyk x，tank，联立抛物线方程，若要使|PAPF取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为 0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，3)y，4(D x，4)y，()G x y,，设1:(1)lyk x，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1 的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x 可得6yp，可得2 66p，解得32p；（2）A是点(2pF，0)关于顶点O的对称点，可得(2pA，0)，设过A的直线为()2pyk x，tank，联立抛物线方程可得22222(2)04k pk xk pp x，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k ppk p，解得1k ，可取1k，可得切线的倾斜角为45，由抛物线的定义可得|11|sin(90)cosPAPF，而的最小值为45，|PAPF的最大值为2；（3）由24yx，可得(1,0)F，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，3)y，4(D x，4)y，()G x y,，设1:(1)lyk x，联立抛物线24yx，可得2222(24)0k xkxk，即有12242xxk，12124()2yyk xxkk，第 21 页 共 23 页由两直线垂直的条件，可将k换为1k，可得23424xxk，344yyk，点G满足4FGFAFBFCFD ，可得4(x，1234)(4yxxxx，1234)yyyy，即为2123424444xxxxxkk，1234444yyyyykk，联立式消元可得222211()22ykkxkk，则G的轨迹方程为22yx【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题22已知函数已知函数 22112ln1ln242f xxxaxxx.（1）讨论）讨论 f x的单调性的单调性.（2）试问是否存在）试问是否存在,ae，使得，使得 13sin44af x对对1,x恒成立？若存在，求恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】【答案】(1)见解析；(2)存在；a的取值范围为2,e.【解析】【解析】（1）lnlnln1fxxxaxaxxax，0,x，所以 0fx得12,xa xe，所以通过对a与0,e的大小关系进行分类讨论得 f x的单调性；(2)假设存在满足题意的a的值，由题意需 min13sin44af x，所以由(1)的单调性求 minf x即可；又因为 13sin44af x对1,x恒成立，所以可以考虑从区间1,内任取一个x值代入，解出a的取值范围，从而将,ae 的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）lnlnln1fxxxaxaxxax，0,x.第 22 页 共 23 页当ae时，ln10fxxex，f x在0,上单调递增当0a 时，0 xa，f x在0,e上单调递减，在,e 上单调递增 当0ae时，f x在,a e上单调递减，在0,a，,e 上单调递增；当ae时，f x在,e a上单调递减，在0,e，,a 上单调递增.（2）假设存在,ae，使得 13sin44af x对1,x恒成立.则 31123sin444afa，即8sin1504aa，设 8sin154xg xx，则存在,xe，使得 0g x，因为 8cos044xgx，所以 g x在,xe 上单调递增，因为 20g，所以 0g x 时2x 即2a.又因为 13sin44af x对1,x恒成立时，需 min13sin44af x，所以由（1）得：当ae时，f x在1,上单调递增，所以 min331=2=244f xfae，且3123sin444ee成立，从而ae满足题意.当2ea时，f x在,a e上单调递减，在1,a，,e 上单调递增，所以 2113sin,4413sin,444afeaf eea所以22,4sin1204aaeae（）设 24sin1242xh xexexe，4cos044xh xe，则 h x在2,e上单调递增，因为 228130hee，所以 h x的零点小于 2，从而不等式组（）的解集为2,，所以2xe即2ea.综上，存在,ae，使得 13sin44af x对1,x恒成立，且a的取值第 23 页 共 23 页范围为2,e.【点睛】求可导函数 f x的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求 fx；（3）讨论 fx的零点是否存在；若 fx的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断 fx在每个区间内的正负号，得 f x的单调区间.当 f xa在区间D上恒成立时，需 minf xa.