2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题（解析版）.doc

2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简集合,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】 因为函数的值域为所以, 又集合,所以. 故选:D 【点睛】 本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题. 2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标． 【详解】 由题意，对应点为，在第二象限． 故选B． 【点睛】 本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美． 3．质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【解析】对所有车辆编号，能源车与燃油车区别开来，用列举法写出任取2辆的所有情况．计数后可求得概率． 【详解】 2辆新能源汽车编号为，3辆燃油汽车编号为，任取2辆的所有情况如下： 共10种，其中2辆都为燃油汽车的有共3种，所以所求概率为． 故选：D． 【点睛】 本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件，得事件的总数，然后再计算出所求概率事件所包含的基本事件的个数即可计算概率． 4．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合三角函数定义求出，然后再计算． 【详解】 ∵角的终边经过点，∴是第一象限角，不妨设其为锐角， 又，∴，∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题． 5．“”是“方程为椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】求出方程为椭圆时的取值范围，再分析充分必要条件． 【详解】 方程表示椭圆，则，解得或． ∴“”是“方程为椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，考查方程表示椭圆的条件．注意二次方程表示椭圆时除了要求以外还有，这个容易遗忘． 6．设为等差数列，，为其前n项和，若，则公差（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】用基本量法求解，即把用和表示． 【详解】 ∵为等差数列，， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】 本题考查等差数列的前项和公式，方法是基本量法，属于基础题． 7．函数的图象大致为（　　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选. 【详解】 因为 , 所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除; 因为,故排除, 因为由图象知,排除. 故选:A 【点睛】 本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】试题分析：，可以将函数的图象向右平移个单位即可. 【考点】1、三角恒等变换；2、图象平移. 【方法点睛】先平移的话，如果平移个单位长度，那么相位就会改变， 而先伸缩势必会改变的大小，这时再平移，要使相位改变值仍为，那么平移长度一定不等于， 因此二者平移长度不一样，原因就是发生了变化 . 平移到，因为是自变量，平移的长度只与有关，毕竟是在轴上平移，所以要针对而不是来确定，这也是三角函数图象平移伸缩变换问题中要特别注意的原因，像平移到，就得向右平移个单位长度. 9．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值. 【详解】 由题意及图，， 又，，所以，∴（1﹣m）， 又t，所以，解得m，t， 故选C． 【点睛】 本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段中点的纵坐标为4，，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】利用抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解． 【详解】 如图，设是中点，在抛物线准线上的射影分别为，设，抛物线中，，，∴，又是的中点，∴， ∴，． 故选：B． 【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦性质，可直接利用焦点弦性质解题．焦点弦性质：对抛物线，是它的焦点弦，，则．，． 11．设是定义在R上的偶函数，且在单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用偶函数性质函数值中的自变量转化为上，然后利用单调性比较大小． 【详解】 ，∵是偶函数，∴， 易知，，∴，又在上递增，∴，即． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查指数函数与对数函数的性质．利用偶函数把函数值中自变量转化为上的数，利用指数函数与对数函数的性质比较它们的大小，最后由函数的单调性得出结论． 12．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径． 【详解】 ∵，∴，∴只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为， ∴此时，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2（此时），∴．连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱外接球的球心，在正方形中，，∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上． 二、填空题 13．已知函数在点处的切线方程为，则_______． 【答案】3 【解析】由f（x）＝aex+b，得f'（x），因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，故（0，f（0））适合方程y＝2x+1，且f′（0）＝2；联立可得结果． 【详解】 由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex， 因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1， 所以解得a＝2，b＝﹣1． a﹣b＝3． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题． 14．已知正实数m，n满足，则的最小值是________. 【答案】 【解析】利用已知条件配凑出：，展开后可用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵正实数m，n满足， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．其中定值常常需要我们配凑出，而“1”的代换是常用的配凑法． 15．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则面积为___． 【答案】 【解析】由题意首先求得角A的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由题意可得： ，，，. 利用余弦定理有：， 结合，可得：， 则. 故答案为. 【点睛】 本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 16．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数. 【详解】 ， 则可知在单调递增，在单调递减.故. 在单调递减，在单调递增.故. ，使得成立，则，所以. 【点睛】 本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则. 三、解答题 17．已知数列是递减的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前n项和. 【答案】（1）,（2）= 【解析】（1）由，，成等差数列求出公比后，可得的通项公式； （2）由（1）计算出，因此用裂项相消法求数列的和． 【详解】 （1）设数列的公比为q，由成等差数列得，又，所以，即，解得或（舍去）， 故，即数列的通项公式为. （2），, . 【点睛】 本题考查求等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查裂项相消法求数列的和，在用裂项相消法求数列和时，要注意相消的项是连续相消还是间隔相消． 18．四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】(1)见证明；(2)1 【解析】（1）根据题意，求得，，再利用余弦定理求出 ，，是等腰三角形，最后得出平面得证； (2) 取中点，证明，再证明平面，故平面，然后求得BM的长即可. 【详解】 （1）在直角梯形中，，， 在中，由余弦定理，，，，是等腰三角形， 所以，，平面，则平面平面. （2）取中点，连接，，为平行四边形，所以，，由，所以，又由于平面，所以，所以平面，所以平面，所以到平面的距离为1. 【点睛】 本题主要考查了立体几何的综合知识，垂直关系是解题的关键，属于中档题. 19．峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以，，，，，（单位：度）分组的频率分布直方图如下图： 若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”．其中，使用峰谷电价的户数如下表： 月平均用电量（度） 使用峰谷电价的户数 3 9 13 7 2 1 (1)估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)（）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的列联表: 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户 ()根据（）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？ 0.025 0.010 0.001 5.024 6.635 10.828 附：， 【答案】（1）众数600度，平均数640度（2）（）见解析；()不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关. 【解析】(1)由频率分布直方图计算出众数与平均数 (2)完善列表联并计算出是否有关 【详解】 （1）根据频率分布直方图的得到度到度的频率为： ， 估计所抽取的户的月均用电量的众数为：（度）； 估计所抽取的户的月均用电量的平均数为： （度） （2）依题意，列联表如下 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 25 10 不使用峰谷电价的用户 5 10 的观测值 所以不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关. 【点睛】 本题考查了频率分布直方图，并完善列表联计算线性相关性，较为基础，需要掌握解题方法 20．设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆：的圆心. （1）求椭圆的方程； （2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程； （Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围 试题解析： （1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即， 所以，又，得． 所以椭圆的方程为：. （2）可知椭圆右焦点． （ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线， 可得：，，四边形面积为12. （ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线， 可得：，，四边形面积为. （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设，. 由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为， 所以. 故四边形面积：. 可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,). 综上，四边形面积的取值范围为． 21．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，试判断的零点个数. 【答案】（1）当时，在上是增函数， 当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数； （2）1 【解析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间. （2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数. 【详解】 （1）函数的定义域为，，令，则，， （i）若，则恒成立，所以在上是增函数， （ii）若，则， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， （iii）若，则， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 综上所述：当时，在上是增函数， 当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数； （2）当时， 在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 所以的极小值为， 的极大值为, 设，其中， , 所以在上是增函数， 所以， 因为， 所以有且仅有1个，使. 所以当时，有且仅有1个零点. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值； （2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程. 【答案】(1)7；(2) 或 【解析】(1)将曲线和都化成普通方程后,可知的最大值是圆心距加上两个圆的半径; (2) 将直线的参数方程代入中后,利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长,代入已知,可解得斜率,再由点斜式可得直线的方程. 【详解】 解：（1）由得，所以曲线的普通方程为，圆心，半径. 曲线的直角坐标方程为，圆心，半径. ∴. （2）将直线的参数方程代入中，得， 整理得， ∴. 设两点对应的参数分别为，则，. 由及参数的几何意义， 得， 解得，满足，所以, ∴直线的斜率为或, 由点斜式得或, ∴直线的方程为或. 【点睛】 本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程,直线参数方程的几何意义,直线的点斜式方程,属于中档题. 23．已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的解集包含，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)分3段解不等式后,结果求并集可得; (2)转化为在和上都恒成立可得. 【详解】 解：（1）当时， 当时，由，得； 当时，由，得，无解； 当时，由，得. 综上，的解集为. （2）等价于. 当时，， ∴， 则有，，得. 当时，， ∴， ∴对任意的恒成立， ∴得. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式在闭区间上恒成立问题,属于中档题. 第 20 页 共 20 页