2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题（解析版）.doc

2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】 解：由题意可知，， ⫌ ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】 解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为． 故选：A． 【点睛】 本题考查常见函数的值域，属于简单题． 3．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】 解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示： 取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面， 直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题； 分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题． ∴①为真命题，②为假命题． 故选：B． 【点睛】 本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题． 4．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A．16时 B．17时 C．18时 D．19时 【答案】D 【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可． 【详解】 解：由题意可知，时，， 由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得， 此时函数，函数的周期为：， 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足， 如果当时，函数取得最小值可得：，可得， 此时函数，函数的周期为：， 时，，如图： 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D． 【点睛】 本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题． 二、填空题 5．已知集合，，则______. 【答案】 【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．方程的解为______. 【答案】 【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解． 【详解】 解：，∴指数式化为对数式得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题． 7．行列式的值为______. 【答案】5 【解析】直接利用行列式公式可求． 【详解】 解： 故答案为： 【点睛】 本题考查二阶行列式计算．属于基础题． 8．计算______. 【答案】2 【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】 解： 故答案为：2． 【点睛】 本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题． 9．若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______. 【答案】2 【解析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长． 【详解】 解：∵圆锥的底面积为， ∴圆锥的底面半径为，满足，解得 又∵圆锥的侧面积为， ∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得 故答案为： 【点睛】 本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题． 10．已知向量，，则______. 【答案】 【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得的值． 【详解】 解：向量，，则 ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题． 11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①、将3位男生排成一排，有种情况， ②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况， 则位女生不相邻的排法有种； 故答案为： 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点在角终边上，且，则______. 【答案】 【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y，然后即可求解． 【详解】 解：由题意可得，， 解得 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查． 13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中，两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下： 支付金额（元） 支付方式 大于2000 使用 18人 29人 23人 使用 10人 24人 21人 依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为______. 【答案】 【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率． 【详解】 解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：， 使用过B种支付方式的人数为：， 又两种支付方式都没用过的有人， 所以两种支付方式都用过的有， 所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题． 14．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______. 【答案】－3 【解析】先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】 解：因为非零向量、、两两不平行，且，， ， ，解得 故答案为：． 【点睛】 本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题. 15．已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为、最小值为，则______. 【答案】1078 【解析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】 解：因为数列{an}满足：，， 即解得； 或 或； 或，， 所以最小为4，最大为8； 所以，数列的最大值为时，是首项为1，公比为2的等比数列的前项和：； 取最小值时，是首项为1，公差为1的等差数列的前项和：； ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律． 16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围． 【详解】 解：由题意，在区间上的图象如下图所示： 根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解， 则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可， 如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小． 此时只有当时，才能保证函数的最大值最小． 设函数图象向下平移了个单位，（）． ，解得. ∴此时函数的最大值为． 根据绝对值函数的特点，可知 实数的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题． 三、解答题 17．如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，. （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值. 【答案】（1）；（2）证明详见解析，. 【解析】（1）说明即直线与平面的所成角，通过求解三角形，推出结果即可． （2）记点到平面的距离为，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】 解：（1）由直棱柱知平面，所以， 又因为，所以直线平面， 所以即直线与平面的所成角 由题意，，所以 所以直线与平面的所成角. （2）记点到平面的距离为，三角形的面积为，则 ， 由已知，, 所以为定值. 【点睛】 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 18．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位. （1），，计算与； （2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号. 【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可； （2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号. 【详解】 解：（1） ， 所以 证明（2）， ， ， 所以，当且仅当时取“”，此时. 【点睛】 本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 19．如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为. 【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可． （2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可． 【详解】 解：（1）由题意，，， 所以 所以，不符合要求 （2），， 所以， ， 所以，的最小值为. 【点睛】 本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 20．已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列. （1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明（1）中的猜想； （3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值. 【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）. 【解析】（1）代入，求出，，，猜想出即可； （2）利用等差数列的定义证明即可； （3）由（2）知，，因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数，所以，，此时，因为的任意性，不妨设，求出即可． 【详解】 （1）解：由已知， 所以，，， 猜想 证明（2）当时，， 所以 得， 因为，所以 数列为等差数列，又由（1）， 所以 （3）解由（2）知，. 若，则， 因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数 所以，，此时， 设，则，所以或2 ①当时，对于任意， ②当时，对于任意， 所以实数取值的集合为 【点睛】 考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题． 21．已知函数，其中为常数. （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数； （3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果． （2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数． （3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果． 【详解】 解：（1）解不等式 当时，，所以 当时，，所以， 综上，该不等式的解集为 （2）当时，， 因为是以2为周期的偶函数， 所以， 由，且，得， 所以当时， 所以当时， ， 所以函数的反函数为 （3）①当时，在上，是上的增函数，所以 所以，得； ②当时，在上，是上的增函数，所以 所以，得； ③当时，在上不单调，所以 ，， 在上，. ，不满足. 综上，的取值范围为. ③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是 令，解得或，不符合题意； ④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减， 令，解得或，不符合题意. 综上，所求实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 第 18 页 共 18 页