2019届上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题（解析版）.doc

2018-2019学年上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题 一、单选题 1．设集合则 A．对任意实数a， B．对任意实数a，（2,1） C．当且仅当a<0时,（2,1） D．当且仅当 时,（2,1） 【答案】D 【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解. 详解：若，则且，即若，则， 此命题的逆否命题为：若，则有，故选D. 点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 2．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】 为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，， 由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C. 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 4．设的边上一定点满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得恒成立，只需△即可，由此能求出是等腰三角形，． 【详解】 设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得， ， ， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需△即可，于是， 因此，即是的中点，故是等腰三角形， 所以． 故选：D. 【点睛】 本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力. 二、填空题 5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=_____ 【答案】{0，1} 【解析】根据集合的交运算进行计算即可． 【详解】 因此AB= 故答案为： 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 6．若函数，，则__________． 【答案】 【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得定义域，取交集得到的定义域，将解析式相加可得所求结果. 【详解】 定义域为：；定义域为： 的定义域为 故答案为： 【点睛】 本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 7．在的二项展开式中,第四项的系数为__________. 【答案】 【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】 二项展开式中，第四项的系数为. 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题. 8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】 【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 9．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 ． 【答案】 【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为； 故答案为： 【考点】圆锥体的表面积． 10．已知直线与直线,记 ，则D=0是直线与直线平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件. 【答案】必要非充分 【解析】解求得的值.由此求得的值.由此判断出充分、必要条件. 【详解】 令得，解得或. 当时，，解得. 故D=0是直线与直线平行的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【点睛】 本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 11．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值. 【详解】 因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 【点睛】 函数的性质 （1）. （2）周期 （3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足， （4）由求增区间；由求减区间. 12．若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________． 【答案】3 【解析】【详解】 分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图， 平移直线， 由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 13．能说明“若对任意的都成立,则在上是增函数”为假命题的一个函数是_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数在区间满足条件“对任意的都成立”且不是增函数. 【详解】 由于原命题是假命题，故存在“对任意的都成立”且不是增函数. 设为二次函数，则在必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足，且二次项系数即可.如. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题. 14．已知椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的焦距与长轴长的比值为________. 【答案】 【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得，由此求得椭圆M的焦距与长轴长的比值（也即离心率） 【详解】 由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，根据椭圆的定义可知，所以椭圆M的焦距与长轴长的比值为. 故答案为：. 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题. 15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 16．在实数集R中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：当且仅当“”或“”且“”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若,则； ②若，则； ③若,则对于任意； ④对于复数,若,则. 其中所有真命题的序号为______________. 【答案】②③ 【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】 对于①，由于，所以“”或“且”. 当，满足但，所以①错误. 对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设，由，所以“”或“且”，可得“”或“且”，即成立，所以③正确. 对于④，当时，，，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】 本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题. 三、解答题 17．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在区间上恰好有十个零点,求正数的最小值. 【答案】（1）最小正周期为，递减区间为；（2）. 【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简解析式，进而求得的最小正周期和的单调减区间. （1）令求得函数的零点，结合在区间上恰好有十个零点，求得的最小值. 【详解】 （1），所以的最小正周期为.由，解得，所以的递减区间为. （2）令，即，即.由于内，恰有十个零点，故由得取，恰好个零点.当时，.所以正数的最小值为. 【点睛】 本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题. 18．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果. 详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz． 因为AB=AA1=2， 所以． （1）因为P为A1B1的中点，所以， 从而， 故． 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为． （2）因为Q为BC的中点，所以， 因此，． 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则即 不妨取， 设直线CC1与平面AQC1所成角为， 则， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为． 点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】【详解】 分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论. 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． 由得． 依题意，解得k<0或0<k<1． 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3． 所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直线PA的方程为． 令x=0，得点M的纵坐标为． 同理得点N的纵坐标为． 由，得，． 所以． 所以为定值． 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20．数列,定义为数列的一阶差分数列,其中. (1)若,试断是否是等差数列,并说明理由； (2)若证明是等差数列,并求数列的通项公式； (3)对(2)中的数列,是否存在等差数列,使得对一切都成立,若存在,求出数列的通项公式；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，；（3）存在，且. 【解析】（1）通过计算证得是等差数列. （2）根据，得到，利用凑配法证得是等差数列,并求得数列的通项公式. （3）先求得，由此求得，再利用组合数公式，证得符合要求. 【详解】 （1）由于，所以，所以，且.所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由于，，所以，即，两边除以得，所以是首项为，公差为的等差数列，故，即. （3）存在，且符合题意. 依题意.当时，；当时，，即，而是等差数列，故只能.下证符合题意. 由于，所以根据组合数公式有符合题意. 【点睛】 本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=． （Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3) 【解析】【详解】 （Ⅰ），。 （Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、， 相应的分别为、、、， 所以中的每个元素应有奇数个， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： 、、、， 、、、， 对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数， 所以集合、、、满足题意， 假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素， 则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为。 （Ⅲ）， 此时中有个元素，下证其为最大。 对于任意两个不同的元素，满足， 则，中相同位置上的数字不能同时为， 假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有， 所以除外至少有个元素含有， 根据元素的互异性，至少存在一对，满足， 此时不满足题意， 故中最多有个元素. 第 16 页 共 16 页